Encontre a inversa de [lll1 & 2 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1] por operações elementares.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A= 1 & 2 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1
usando o método de Gauss–Jordan (operações elementares). Vamos montar a matriz aumentada [Amid I] e, pivô a pivô, transformá-la em [Imid A^-1].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Usamos o pivô a11=1 para zerar o elemento embaixo, fazendo
R3 R3-R1. Obtém-se
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & -2 & 1 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 4

Pivot em a22=1 (linha 2, coluna 2). Zeramos as entradas acima e abaixo com
R1 R1-2R2 e R3 R3+2R2. Ficamos com
[ccc|ccc 1 & 0 & -2 & 1 & -2 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 & -1& 2 & 1 ]

Passo 5

Para o pivô em a33=3, dividimos a linha 3 por 3 e então zeramos as colunas 3 em linha 1 e linha 2:
R3 tfrac13R3, R1 R1+2R3, R2 R2-R3
Isso resulta em
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 13 & -23 & 23 0 & 1 & 0 & 13 & 13 & -13 0 & 0 & 1 & -13& 23 & 13 ]

Resposta

A inversa é
A^-1= 13 & -23 & 23 13 & 13 & -13 -13& 23 & 13

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