Para o sistema homogêneo:
cc2 x-5 y+2 z & =0 x+y+z & =0 2 x+k z & =0
(a) Encontre os valores de k para os quais o sistema seja possível e indeterminado.
(b) Para cada sistema, considere k=-3 e determine a solução.
(c) Que podemos afirmar sobre o sistema clx+6 y-k z+w & =0 x+y-w & =0 4 x+y+6 z+k w & =0.

Passo 1

O enunciado trata de sistemas lineares homogêneos com parâmetro
é possível indeterminado (ou seja, admite infinitas soluções não triviais). No (b) usamos (k=-3] e resolvemos. No (c) analisamos o posto de

para afirmar se há sempre soluções não-triviais.

Passo 2

Para o sistema do item (a) escrevemos a matriz de coeficientes
A= 2 & -5 & 2 1 & 1 & 1 2 & 0 & k
e calculamos o determinante
det A =21&10&k +51&12&k +21&12&0 =2(k)-10+5k-4 =7k-14

Passo 3

Em sistemas homogêneos temos solução não trivial se e só se det A=0. Logo
7k-14=0implies k=2
Assim, no item (a) o sistema é possível e indeterminado exatamente para k=2. Para kneq2 só existe a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0).

Passo 4

No item (b) tomamos k=-3. Como -3neq2, temos det A=7(-3)-14neq0, logo o único vetor solução é
(x,y,z)=(0,0,0)

Passo 5

Para o sistema do item (c) temos 3 equações e 4 incógnitas (x,y,z,w). Montamos a matriz 3times4 de coeficientes e verificamos que, por exemplo, o menor colunar formado pelas colunas 1,3,4 é
1 & -k & 1 1 & 0 & -1 4 & 6 & k =k^2+4k+12,
que nunca se anula para kinR. Logo o posto é sempre 3, e como há 4 incógnitas, há sempre um grau de liberdade.

Resposta

(a) O sistema é possível e indeterminado apenas para k=2.
(b) Para k=-3 a única solução é (x,y,z)=(0,0,0).
(c) O sistema homogêneo de 3 equações em 4 incógnitas tem sempre posto 3, logo admite infinitas soluções (espaço nulo de dimensão 1) para todo k.

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