Considere as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 2 \\\\ 0 & 0\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right). Para quais destas matrizes o espaço coluna é:
(a) Um plano?
(b) Uma reta?
Passo 1
O enunciado fornece as matrizes A, B e C de ordem 3\times2 e pede para caracterizar seu espaço coluna, ou seja, o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelas colunas de cada matriz. O conteúdo principal é determinar a dimensão do espaço coluna (que é o posto da matriz) e classificar se resulta num plano (dimensão 2) ou numa reta (dimensão 1).
Definição e procedimento: o espaço coluna de uma matriz é o conjunto de combinações lineares de suas colunas. A dimensão desse espaço é o posto, ou seja, o número de colunas linearmente independentes. Se o posto for 2, temos um plano em \mathbb{R}^3; se for 1, temos uma reta.
Observa-se que não existe \lambda tal que w_2 = \lambda\,w_1, ou seja, w_1 e w_2 são linearmente independentes. Assim o posto de B é 2 e o espaço coluna de B é um plano (o plano z=0 em \mathbb{R}^3).