Considere as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 2 \\\\ 0 & 0\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right). Para quais destas matrizes o espaço coluna é:
(a) Um plano?
(b) Uma reta?

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes A, B e C de ordem 3\times2 e pede para caracterizar seu espaço coluna, ou seja, o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelas colunas de cada matriz. O conteúdo principal é determinar a dimensão do espaço coluna (que é o posto da matriz) e classificar se resulta num plano (dimensão 2) ou numa reta (dimensão 1).
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 0 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 2\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 2 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 2

Definição e procedimento: o espaço coluna de uma matriz é o conjunto de combinações lineares de suas colunas. A dimensão desse espaço é o posto, ou seja, o número de colunas linearmente independentes. Se o posto for 2, temos um plano em \mathbb{R}^3; se for 1, temos uma reta.

Passo 3

Análise de A: as colunas são
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Aqui v_2 = 2\,v_1, logo as colunas são linearmente dependentes e o posto de A é 1. Portanto o espaço coluna de A é uma reta (span \{v_1\}).

Passo 4

Análise de B: as colunas são
w_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad w_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
Observa-se que não existe \lambda tal que w_2 = \lambda\,w_1, ou seja, w_1 e w_2 são linearmente independentes. Assim o posto de B é 2 e o espaço coluna de B é um plano (o plano z=0 em \mathbb{R}^3).

Passo 5

Análise de C: as colunas são
u_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},\quad u_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Como u_2 é o vetor zero, só u_1 contribui para o espaço coluna. Logo o posto de C é 1 e seu espaço coluna é uma reta (span \{u_1\}).

Resposta

(a) Um plano: somente para B.
(b) Uma reta: para A e para C.

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