Encontre a fatoração A=L U ou P A=L U para as seguintes escolhas de A
(b) A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 4 & 4 \\\\ 1 & 4 & 8\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a fatoração A=LU (ou, se necessário, PA=LU) para
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 4 & 4\\\\ 1 & 4 & 8 \end{pmatrix}.
Vamos usar o método de Doolittle (fatoração sem permutações), que exige que todos os menores principais de A não sejam zero.

Passo 2

Começamos determinando a primeira linha de U e a primeira coluna de L. Pelo método de Doolittle:
u_{11}=a_{11}=1,\quad u_{12}=a_{12}=1,\quad u_{13}=a_{13}=1,
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{1}{1}=1,\quad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 3

Em seguida calculamos os elementos u_{22} e u_{23} usando
u_{2j}=a_{2j}-\ell_{21}\,u_{1j},
para j=2,3. Assim
u_{22}=4 - 1\cdot 1 = 3, \qquad u_{23}=4 - 1\cdot 1 = 3.

Passo 4

Agora obtemos \ell_{32} e depois u_{33}. Primeiro
\ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}\,u_{12}}{u_{22}} =\frac{4 - 1\cdot 1}{3}=\frac{3}{3}=1.
Depois,
u_{33}=a_{33}-\ell_{31}\,u_{13}-\ell_{32}\,u_{23} =8 - 1\cdot1 - 1\cdot3 = 8 - 4 = 4.

Passo 5

Reunindo os coeficientes temos
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Verifica-se facilmente que LU=A sem necessidade de permutações.

Resposta

A = LU,\quad L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.

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