Encontre a fatoração A=L U ou P A=L U para as seguintes escolhas de A (b) A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 4 & 4 \\\\ 1 & 4 & 8\end{array}\right) Passo 1O enunciado pede a fatoração A=LU (ou, se necessário, PA=LU) para A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 4 & 4\\\\ 1 & 4 & 8 \end{pmatrix}. Vamos usar o método de Doolittle (fatoração sem permutações), que exige que todos os menores principais de A não sejam zero. Passo 2Começamos determinando a primeira linha de U e a primeira coluna de L. Pelo método de Doolittle: u_{11}=a_{11}=1,\quad u_{12}=a_{12}=1,\quad u_{13}=a_{13}=1, \ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{1}{1}=1,\quad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{1}{1}=1. Passo 3Em seguida calculamos os elementos u_{22} e u_{23} usando u_{2j}=a_{2j}-\ell_{21}\,u_{1j}, para j=2,3. Assim u_{22}=4 - 1\cdot 1 = 3, \qquad u_{23}=4 - 1\cdot 1 = 3. Passo 4Agora obtemos \ell_{32} e depois u_{33}. Primeiro \ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}\,u_{12}}{u_{22}} =\frac{4 - 1\cdot 1}{3}=\frac{3}{3}=1. Depois, u_{33}=a_{33}-\ell_{31}\,u_{13}-\ell_{32}\,u_{23} =8 - 1\cdot1 - 1\cdot3 = 8 - 4 = 4. Passo 5Reunindo os coeficientes temos L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}. Verifica-se facilmente que LU=A sem necessidade de permutações. Resposta A = LU,\quad L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre a fatoração A=L U ou P A=L U para as seguintes escolhas de A (a) A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 8 & 7\end{array}\right) Seja A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\\\ 3 & 9 & 1 \\\\ 2 & 6 & 1\end{array}\right). (a) Encontre matrizes elementares E_{1}, \ldots E_{n} tais que E_{n} \ldots E_{1} A=I, onde I denota a matriz identidade 3 \times 3. (b) Calcule A^{-1}. Encontre a fatoração A=L U ou P A=L U para as seguintes escolhas de A (c) A=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right). Considere as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 2 \\\\ 0 & 0\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right). Para quais destas matrizes o espaço coluna é: (a) Um plano? (b) Uma reta?