Explique por que não existe uma matriz A tal que o vetor \left(\frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{2025}}\right) pertença ao espaço nulo de A e também ao espaço coluna de A^{T}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe matriz A tal que o vetor
v=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{25}\\[6pt]\tfrac{1}{2025}\end{pmatrix}
esteja simultaneamente em \nullspace(A) e em \colspace(A^T).
O conteúdo envolvido é o teorema dos subespaços fundamentais de uma matriz: a nulidade, o espaço linha e o espaço coluna.]

Passo 2

Recordemos duas propriedades-chave:
  1. \colspace(A^T) é exatamente o espaço das linhas de A, isto é,
\colspace(A^T)=\rowspace(A).
  1. O espaço nulo de A é ortogonal ao espaço linha de A. Em outras palavras,
\nullspace(A)\;\perp\;\rowspace(A).

Passo 3

Do item anterior segue que
\nullspace(A)\;\cap\;\rowspace(A)=\{0\}.
Isto significa que o único vetor que pode pertencer simultaneamente a \nullspace(A) e a \colspace(A^T) é o vetor zero.

Passo 4

Observe que
v=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{25}\\[3pt]\tfrac{1}{2025}\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Como v é não-nulo, ele não pode estar em \nullspace(A)\cap\colspace(A^T).]

Resposta

Não existe tal matriz A, pois qualquer vetor não-nulo não pode pertencer simultaneamente ao espaço nulo de A e ao espaço coluna de A^T.

Exercícios relacionados