Explique por que não existe uma matriz A tal que o vetor \left(\frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{2025}}\right) pertença ao espaço nulo de A e também ao espaço coluna de A^{T}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe matriz A tal que o vetor
esteja simultaneamente em \nullspace(A) e em \colspace(A^T).
O conteúdo envolvido é o teorema dos subespaços fundamentais de uma matriz: a nulidade, o espaço linha e o espaço coluna.]
Passo 2
Recordemos duas propriedades-chave:
\colspace(A^T) é exatamente o espaço das linhas de A, isto é,
\colspace(A^T)=\rowspace(A).
O espaço nulo de A é ortogonal ao espaço linha de A. Em outras palavras,
\nullspace(A)\;\perp\;\rowspace(A).
Passo 3
Do item anterior segue que
\nullspace(A)\;\cap\;\rowspace(A)=\{0\}.
Isto significa que o único vetor que pode pertencer simultaneamente a \nullspace(A) e a \colspace(A^T) é o vetor zero.