Construa uma matriz 3 \times 3 cujo espaço coluna contenha os vetores \left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right) e \left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right) mas não o vetor \left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede uma matriz 3\times3 cuja coluna espaço (span das colunas) contenha os vetores
u = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad v = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
mas não contenha
w = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Estamos trabalhando com espaços gerados por vetores em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos verificar se w\) já estaria no span\(\{u,v\}\). Procuramos escalares \(a,b\) tais que \[a\,u + b\,v = w.
Isso dá o sistema
\begin{cases} a + b = 1,\\\ a = 1,\\\ b = 1. \end{cases}
Da segunda e terceira equação temos a=1\] e \(b=1, mas então a+b=2\neq1. Logo não existe solução, ou seja,
w\notin\operatorname{span}\{u,v\}.

Passo 3

Para garantir que a coluna espaço contenha exatamente \operatorname{span}\{u,v\}, basta escolher duas colunas iguais a u e v e colocar uma terceira coluna que fique dentro desse span (por exemplo o vetor zero). Assim o espaço colunas será \operatorname{span}\{u,v\} e não crescerá para incluir w.

Passo 4

Escolhendo a terceira coluna igual a \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, obtemos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
As colunas de A são exatamente u, v e o zero, então
\operatorname{Col}(A) = \operatorname{span}\{u,v\}.
Como vimos em

Resposta

Uma matriz que satisfaz é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

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