Determinar x, y, z e w tal que a equação matricial:
2\left(\begin{array}{rr} x & y \\\ z & -w \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 3 & x-y \\\ z+w & 6+y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} x+y & 5 \\\\ 2 z & 2 w-z \end{array}\right)
seja verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
2\begin{pmatrix} x & y\\[4pt] z & -w\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & x-y\\[4pt] z+w & 6+y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y & 5\\[4pt] 2z & 2w-z\end{pmatrix}
e pede para determinar os escalares x,\;y,\;z,\;w.
As informações relevantes que temos são exatamente as entradas dessas matrizes; a incógnita é o quadruplo (x,y,z,w).]

Passo 2

Regra importante (sem resolver ainda): duas matrizes são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes são iguais. Vou primeiro simplificar o lado esquerdo pelo cálculo matricial elemento a elemento.
Calculemos 2 vezes a primeira matriz:
2\begin{pmatrix} x & y\\[4pt] z & -w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 2y\\[4pt] 2z & -2w\end{pmatrix}.
Agora subtraímos a segunda matriz:
\begin{pmatrix} 2x & 2y\\[4pt] 2z & -2w\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & x-y\\[4pt] z+w & 6+y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x-3 & 2y-(x-y)\\[6pt] 2z-(z+w) & -2w-(6+y) \end{pmatrix}.
Simplificando cada entrada:
2y-(x-y)=3y-x,\qquad 2z-(z+w)=z-w,\qquad -2w-(6+y)=-2w-y-6.
Portanto a igualdade matricial gera o sistema de quatro equações escalares (igualando cada entrada correspondente):
\begin{cases} 2x-3 = x+y,\\[6pt] 3y-x = 5,\\[6pt] z-w = 2z,\\[6pt] -2w-y-6 = 2w - z. \end{cases}]

Passo 3

Resolva a equação do bloco (inferior esquerda): \;z-w=2z.
Isolando z e w:
z-w=2z \quad\Rightarrow\quad -w = 2z - z = z \quad\Rightarrow\quad z = -w.
Portanto já temos a relação \;z = -w.

Passo 4

Agora olhe as equações que envolvem x e y.
Primeira equação: \;2x-3 = x+y.
Isolando x:
2x-3 = x+y \quad\Rightarrow\quad 2x-x = y+3 \quad\Rightarrow\quad x = y+3.
Segunda equação: \;3y-x=5. Substituindo x=y+3:
3y-(y+3)=5 \quad\Rightarrow\quad 3y-y-3=5 \quad\Rightarrow\quad 2y-3=5.
Logo
2y = 8 \quad\Rightarrow\quad y = 4.
Substituindo em x=y+3:
x = 4+3 = 7.

Passo 5

Use agora a última equação para achar w. A equação é \;-2w-y-6 = 2w - z. Substitua y=4 e z=-w (do Passo 3):
-2w - 4 - 6 = 2w - (-w).
Simplifique ambos os lados:
-2w - 10 = 2w + w = 3w.
Somando 2w aos dois lados:
-10 = 5w \quad\Rightarrow\quad w = -2.
Então, pela relação z=-w,
z = -(-2) = 2.

Passo 6

Resumo dos valores encontrados: \;x=7,\;y=4,\;z=2,\;w=-2.
Verificação rápida (substituindo nas entradas simplificadas do Passo 2):
Lado esquerdo simplificado era
\begin{pmatrix}2x-3 & 3y-x\\[4pt] z-w & -2w-y-6\end{pmatrix}.
Substituindo (x,y,z,w)=(7,4,2,-2):
\begin{pmatrix}2\cdot7-3 & 3\cdot4-7\\[4pt] 2-(-2) & -2(-2)-4-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14-3 & 12-7\\[4pt] 4 & 4-4-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11 & 5\\[4pt] 4 & -6\end{pmatrix}.
Lado direito dado é
\begin{pmatrix}x+y & 5\\[4pt] 2z & 2w-z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7+4 & 5\\[4pt] 2\cdot2 & 2(-2)-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11 & 5\\[4pt] 4 & -6\end{pmatrix},
que coincide com o esquerdo. A solução está correta.]

Resposta

x=7
y=4
z=2
w=-2

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