Considere as matrizes: A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant 2 \\\\ 1 \leqslant j \leqslant 3}}, onde a_{i j}=\left\{\begin{array}{c}2, \quad \text { se } i=j \\\\ 1, \text { se } i+j=3 \text { ou } j=3\end{array}\right.; \mathrm{B}=\left(b_{i j}\right)_{1 \leq i \leq 2}, onde b_{i j}=\left\{\begin{array}{c}2, \text { se } j=3 \\\\ 0, \text { se } i \leq j \leq 3 \\\\ 2+3 i j, \text { se } i=2 \text { e } i \leq j\end{array}\right.. Determine matrizes Xe Y tais que \left\{\begin{array}{l}2 X-Y=A \\\ X+3 Y=B\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para encontrar duas matrizes X e Y, de mesma ordem que
A=(a_{ij})_{1\le i\le2,\;1\le j\le3}, \quad B=(b_{ij})_{1\le i\le2,\;1\le j\le3},
de modo que satisfaçam o sistema matricial
\begin{cases} 2X - Y = A,\\\ X + 3Y = B. \end{cases}
O conteúdo usado será álgebra matricial e solução de sistema linear de coeficientes escalar, aplicado a cada entrada.

Passo 2

Vamos resolver simbolicamente o sistema para X e Y. Multiplicando a primeira equação por 3 e somando à segunda, eliminamos Y:
3(2X - Y) + (X + 3Y) = 3A + B \;\Longrightarrow\; 6X - 3Y + X + 3Y = 3A + B \;\Longrightarrow\; 7X = 3A + B.
Logo
X = \frac{3A + B}{7}.
Para Y, basta usar a primeira equação:
Y = 2X - A = 2\biggl(\frac{3A + B}{7}\biggr) - A = \frac{6A + 2B - 7A}{7} = \frac{2B - A}{7}.

Passo 3

Calcular as entradas de A. Para 1\le i\le2,\;1\le j\le3: a_{ij}=2 se i=j, e a_{ij}=1 se i+j=3 ou j=3.
Fica
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular as entradas de B. Interpretamos as regras assim:
  • b_{ij}=2 se j=3.
  • Se j<3 e i\le j, então b_{ij}=0.
  • Se i=2 e j< i, então b_{ij}=2+3\,i\,j.
    Logo
B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\\\ 8 & 0 & 2 \end{pmatrix},
pois em (i,j)=(2,1) temos 2+3\cdot2\cdot1=8.

Passo 5

Agora aplicamos as fórmulas achadas em bloco:
3A = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3\\\\ 3 & 6 & 3 \end{pmatrix}, \quad 3A + B = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3\\\\ 3 & 6 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\\\ 8 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 5\\\\ 11 & 6 & 5 \end{pmatrix}.
Dividindo por 7:
X = \frac{3A + B}{7} = \begin{pmatrix} \frac{6}{7} & \frac{3}{7} & \frac{5}{7}\\[6pt] \frac{11}{7} & \frac{6}{7} & \frac{5}{7} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Para Y:
2B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4\\\\ 16 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad 2B - A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4\\\\ 16 & 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3\\\\ 15 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Dividindo por 7:
Y = \frac{2B - A}{7} = \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{7} & -\tfrac{1}{7} & \tfrac{3}{7}\\[4pt] \tfrac{15}{7} & -\tfrac{2}{7} & \tfrac{3}{7} \end{pmatrix}.]

Resposta

X = \begin{pmatrix} \frac{6}{7} & \frac{3}{7} & \frac{5}{7}\\[4pt] \frac{11}{7} & \frac{6}{7} & \frac{5}{7} \end{pmatrix}, Y = \begin{pmatrix} -\frac{2}{7} & -\frac{1}{7} & \frac{3}{7}\\[4pt] \frac{15}{7} & -\frac{2}{7} & \frac{3}{7} \end{pmatrix}.]

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