Dada uma matriz \mathrm{A}=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\\\ 1 \leqslant j \leqslant m}} denomina-se transposta de A e indica-se por A^{t} a matriz A^{t}=\left(b_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\\\ 1 \leqslant j \leqslant n}} onde b_{i j}=a_{j i}. Quando \mathrm{n}=\mathrm{m}, a matriz A é dita simétrica quando A^{t}=A, antissimétrica quando A^{t}=-A e ortogonal quando A é invertivel e A^{-1}=A^{t}.
Mostre que o mesmo vale para as matrizes antissimétricas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz quadrada A é antissimétrica A^{t}=-A e invertível, então a sua inversa A^{-1} também é antissimétrica, ou seja,
(A^{-1})^{t} = -\,A^{-1}.

Passo 2

Usamos a propriedade geral de transposta de inversa: para qualquer matriz invertível A, vale
(A^{-1})^{t} \;=\; (A^{t})^{-1}.

Passo 3

Como A é antissimétrica, temos A^{t}=-A. Substituindo em (A^{t})^{-1}, vem
(A^{-1})^{t} \;=\;(A^{t})^{-1} \;=\;(-A)^{-1} \;=\;-\,A^{-1}.
Ou seja, (A^{-1})^{t} = -\,A^{-1}, exatamente a condição de antissimetria para A^{-1}.

Resposta

Portanto, se A é antissimétrica e invertível, sua inversa A^{-1} também é antissimétrica.

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