Dada uma matriz
denomina-se transposta de A e indica-se por
a matriz
onde
. Quando
, a matriz A é dita simétrica quando
, antissimétrica quando
e ortogonal quando A é invertivel e
.
Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica.
Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica.
Passo 1
Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
tais que
e
são simétricas, isto é,
Queremos mostrar que a soma
também é simétrica, ou seja, que
Passo 2
Lembramos a propriedade da transposta em relação à soma: para quaisquer matrizes
e
com mesma ordem, vale
Passo 3
Como
e
são simétricas, substituímos na propriedade anterior:
Pelo critério de simetria
, concluímos que
é simétrica.
Resposta
A soma de duas matrizes simétricas é simétrica, pois
.