Dada uma matriz \mathrm{A}=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\\\ 1 \leqslant j \leqslant m}} denomina-se transposta de A e indica-se por A^{t} a matriz A^{t}=\left(b_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\\\ 1 \leqslant j \leqslant n}} onde b_{i j}=a_{j i}. Quando \mathrm{n}=\mathrm{m}, a matriz A é dita simétrica quando A^{t}=A, antissimétrica quando A^{t}=-A e ortogonal quando A é invertivel e A^{-1}=A^{t}.
Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica.

Passo 1

Temos duas matrizes quadradas A e B de ordem n tais que A e B são simétricas, isto é,
A^{t}=A \quad\text{e}\quad B^{t}=B.
Queremos mostrar que a soma A+B também é simétrica, ou seja, que
(A+B)^{t}=A+B.

Passo 2

Lembramos a propriedade da transposta em relação à soma: para quaisquer matrizes A e B com mesma ordem, vale
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.

Passo 3

Como A e B são simétricas, substituímos na propriedade anterior:
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}=A+B.
Pelo critério de simetria M^{t}=M, concluímos que A+B é simétrica.

Resposta

A soma de duas matrizes simétricas é simétrica, pois (A+B)^{t}=A+B.

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