Exercício 18.0.2. Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ccc}3 & -3 & -4 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e os autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & -3 & -4\\\\ 0 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores: usamos \det(A-\lambda I)=0 para achar os autovalores e depois resolvemos (A-\lambda I)x=0 para cada \lambda.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Logo,
\lambda_1 = 3,\quad \lambda_2 = 3,\quad \lambda_3 = -1.

Passo 3

Para \lambda=3\) calculamos \[A - 3I = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -4\\\\ 0 & 0 & 5\\\\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}
e resolvemos (A-3I)x=0. Isso dá o sistema
\begin{cases} -3x_2 -4x_3 = 0,\\\\ 5x_3 = 0,\\\\ -4x_3 = 0. \end{cases}
Dessas equações vem x_3=0\] e \(x_2=0, enquanto x_1 fica livre. Portanto os vetores próprios associados a \lambda=3 são
x = t\,(1,0,0),\quad t\neq 0.

Passo 4

Para \lambda=-1\) calculamos \[A - (-1)I = A + I = \begin{pmatrix} 4 & -3 & -4\\\\ 0 & 4 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e resolvemos (A+I)x=0. O sistema é
\begin{cases} 4x_1 -3x_2 -4x_3 = 0,\\\\ 4x_2 +5x_3 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem x_2 = -\tfrac{5}{4}x_3\]. Substituindo na primeira, \[4x_1 -3\Bigl(-\tfrac{5}{4}x_3\Bigr)-4x_3=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x_1 = \tfrac{15}{4}x_3 +4x_3 = \tfrac{31}{4}x_3 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = \tfrac{31}{16}x_3.\] Tomando \(x_3=16 para eliminar frações, um autovetor não-nulo é
x = (31,\,-20,\,16).
Qualquer múltiplo escalar de (31,-20,16) também é autovetor para \lambda=-1.

Resposta

Os autovalores são
\lambda=3 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=-1 (multiplicidade algébrica 1).
Um conjunto de autovetores é
\lambda=3:\; (1,0,0)^T, \quad \lambda=-1:\; (31,-20,16)^T.

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