Considere as matrizes:
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right]
a) Calcule \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}(B),
b) Calcule A B e depois det ( A B )
Qual é a conclusão que podemos tirar sobre a relação entre \operatorname{det}(A), \operatorname{det}(B) \operatorname{edet}(A B) ?

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas 2\times2:
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & 3\end{pmatrix},
e pede para calcular \det(A), \det(B), o produto AB e depois \det(AB). Por fim, queremos ver qual a relação entre \det(A), \det(B) e \det(AB). O conteúdo envolvido é o cálculo de determinante em matrizes 2\times2 e a propriedade de determinante de produto.

Passo 2

Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix},
a regra é
\det\bigl(\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}\bigr) = a d - b c.
Aplicando em A:
\det(A) = 1\cdot4 - 2\cdot3 = 4 - 6 = -2.

Passo 3

Usando a mesma fórmula em B:
\det(B) = 0\cdot3 - 1\cdot2 = 0 - 2 = -2.

Passo 4

Vamos calcular o produto AB. Elemento a elemento:
AB = \begin{pmatrix} 1\cdot0 + 2\cdot2 & 1\cdot1 + 2\cdot3 \\\\ 3\cdot0 + 4\cdot2 & 3\cdot1 + 4\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\\\ 8 & 15 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora computamos \det(AB), de novo pela fórmula ad - bc:
\det(AB) = 4\cdot15 - 7\cdot8 = 60 - 56 = 4.

Passo 6

Calculando o produto dos determinantes obtidos:
\det(A)\,\det(B) = (-2)\times(-2) = 4.
Observamos que
\det(AB) = 4 = \det(A)\,\det(B).

Resposta

A propriedade verificada é
\boxed{\det(AB) = \det(A)\,\det(B).}

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