Dada a matriz A=\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 7 & 11\end{array}\right], calcule o que se pede:
a) A^{-1} (ou seja, a inversa da matriz A).
b) \operatorname{det}(A);
c) \operatorname{det}\left(A^{-1}\right);

Passo 1

O enunciado pede para, dada a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & -1 \\[6pt] 7 & 11\end{pmatrix},
calcular a sua inversa A^{-1}, o determinante \det(A) e o determinante de A^{-1}. Vamos usar as fórmulas clássicas para matrizes 2\times2: \det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} e
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12}\\[3pt] -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix}.]

Passo 2

Calcular \det(A). Pelas entradas de A, temos a_{11}=3, a_{12}=-1, a_{21}=7, a_{22}=11. Logo,
\det(A) = 3\cdot 11 - (-1)\cdot 7 = 33 + 7 = 40.

Passo 3

Obter a matriz de cofatores transposta (adjunta) de A. Para uma 2\times2, basta trocar a_{11} com a_{22} e mudar de sinal os elementos fora da diagonal principal:
\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} 11 & 1 \\[3pt] -7 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Construir A^{-1} usando
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A).
Como \det(A)=40, segue
A^{-1} = \frac{1}{40} \begin{pmatrix} 11 & 1 \\[3pt] -7 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{11}{40} & \frac{1}{40} \\[6pt] -\frac{7}{40} & \frac{3}{40} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular \det(A^{-1}). Sabemos que \det(A^{-1}) = \bigl(\det(A)\bigr)^{-1}. Como \det(A)=40, temos
\det(A^{-1}) = \frac{1}{40}.

Resposta

a)
A^{-1} = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{11}{40} & \displaystyle \frac{1}{40} \\[6pt] \displaystyle -\frac{7}{40} & \displaystyle \frac{3}{40} \end{pmatrix}.
b) \det(A)=40.
c) \det(A^{-1})=\tfrac{1}{40}.]

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