Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right] .
Calcule \operatorname{det}(A B) e \operatorname{det}(B A).

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes (copiei-as do enunciado):
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}.
O que é pedido:
  • Calcular \det(AB).
  • Calcular \det(BA).
Informações úteis imediatas extraídas das matrizes:
  • A tem dimensão 3\times2 (3 linhas, 2 colunas).
  • B tem dimensão 2\times3 (2 linhas, 3 colunas).
  • Logo AB tem dimensão 3\times3 e \det(AB) está bem definido.
  • E BA tem dimensão 2\times2 e \det(BA) também está bem definido.]

Passo 2

Vamos calcular BA primeiro (é menor, 2\times2). Multiplicação linha por coluna: as linhas de B são
\;(1,0,1) e \;(0,1,1),
e as colunas de A são
\;c_1=(2,1,0)^T e \;c_2=(1,0,1)^T.
Então cada entrada de BA é produto escalar linha-de- B com coluna-de- A@.
Cálculos:
(1,0,1)\cdot c_1 = 1\cdot2 + 0\cdot1 + 1\cdot0 = 2,
(1,0,1)\cdot c_2 = 1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 2,
(0,1,1)\cdot c_1 = 0\cdot2 + 1\cdot1 + 1\cdot0 = 1,
(0,1,1)\cdot c_2 = 0\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot1 = 1.
Portanto
BA=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Lembrete rápido sobre determinante de 2\times2: para \begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix} vale \det=\;ad-bc.
Aplicando ao BA que encontramos:
\det(BA)=2\cdot1 - 2\cdot1 = 2-2 = 0.
Logo \det(BA)=0.]

Passo 4

Agora calculamos AB ( 3\times2 vezes 2\times3 3\times3). Faço produto linha por coluna: as linhas de A são
\;r_1=(2,1), \;r_2=(1,0), \;r_3=(0,1),
e as colunas de B são
\;d_1=(1,0)^T, \;d_2=(0,1)^T, \;d_3=(1,1)^T.
Cálculos dos nove elementos:
r_1\cdot d_1 = 2\cdot1 + 1\cdot0 = 2,\quad r_1\cdot d_2 = 2\cdot0 + 1\cdot1 = 1,\quad r_1\cdot d_3 = 2\cdot1 + 1\cdot1 = 3;
r_2\cdot d_1 = 1\cdot1 + 0\cdot0 = 1,\quad r_2\cdot d_2 = 1\cdot0 + 0\cdot1 = 0,\quad r_2\cdot d_3 = 1\cdot1 + 0\cdot1 = 1;
r_3\cdot d_1 = 0\cdot1 + 1\cdot0 = 0,\quad r_3\cdot d_2 = 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1,\quad r_3\cdot d_3 = 0\cdot1 + 1\cdot1 = 1.
Portanto
AB=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para calcular \det(AB) uso expansão por cofactores (expansão pela primeira linha). Lembrete: para matriz 3\times3
\det\begin{pmatrix}a&b&c\\[2pt]d&e&f\\[2pt]g&h&i\end{pmatrix} = a\det\begin{pmatrix}e&f\\[2pt]h&i\end{pmatrix} - b\det\begin{pmatrix}d&f\\[2pt]g&i\end{pmatrix} + c\det\begin{pmatrix}d&e\\[2pt]g&h\end{pmatrix}.
Aplicando aos elementos da primeira linha de AB:
\det(AB) = 2\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix} - 1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&1\end{pmatrix} + 3\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}.
Calculo dos menores:
\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot1=-1,
\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1,
\det\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot0=1.
Substituindo:
\det(AB)=2\cdot(-1) - 1\cdot(1) + 3\cdot(1) = -2 -1 +3 = 0.
Assim \det(AB)=0.]

Passo 6

Intuição que ajuda para provas rápidas: AB é 3\times3 mas foi obtida multiplicando A (que tem só 2 colunas) por B; portanto as colunas de AB são combinações lineares das duas colunas de A. Logo as três colunas de AB estão num espaço gerado por apenas duas vetores, ou seja, são linearmente dependentes — daí \det(AB)=0. Esse raciocínio também explica porque \det(BA)=0 foi obtido: as não-nulas das propriedades espectrais levam a pelo menos um autovalor zero quando dimensões não coincidem, mas aqui a verificação direta por cálculo foi rápida e clara.

Resposta

\det(AB)=0
\det(BA)=0

Exercícios relacionados