Determine quais dos seguintes subconjuntos de mathbb{Z}_{13} são subgrupos do grupo multiplicativo \left(\mathbb{Z}_{13}\right)^{*}.
{\overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}}
{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{8}, \overline{9}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar quais dos dois subconjuntos dados de \mathbb{Z}_{13} são subgrupos do grupo multiplicativo \left(\mathbb{Z}_{13}\right)^{*}. As informações fornecidas são:
  • O grupo ambiente é \left(\mathbb{Z}_{13}\right)^{*} (o conjunto das classes modulares invertíveis modulo 13, com a multiplicação).
  • Subconjunto A=\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}.
  • Subconjunto B=\{\overline{1},\overline{3},\overline{5},\overline{8},\overline{9}\}.
    As perguntas explícitas são: para cada um dos conjuntos A e B, dizer se ele é um subgrupo de \left(\mathbb{Z}_{13}\right)^{*} (sim ou não).

Passo 2

Lembrete útil (ferramentas que vamos usar):
  • Um subconjunto H de um grupo G é subgrupo se, e somente se, for não vazio, contiver a identidade, for fechado sob a operação do grupo e contiver inversos de seus elementos. Para grupos finitos, costuma ser prático usar o Lema/Lagrange: se H é subgrupo de um grupo finito G, então |H| divide |G|.
  • Aqui \left(\mathbb{Z}_{13}\right)^{*} é o grupo multiplicativo dos restos não-nulos módulo 13. Como 13 é primo, todos os inteiros 1,\dots,12 são invertíveis mod 13. Logo
\left|\left(\mathbb{Z}_{13}\right)^{*}\right|=\varphi(13)=12.
Portanto qualquer subgrupo de \left(\mathbb{Z}_{13}\right)^{*} deve ter ordem que divide 12. Os divisores de 12 são 1,2,3,4,6,12.

Passo 3

Aplicando Lagrange ao conjunto B. O conjunto B tem |B|=5 elementos. Como 5 não é divisor de 12, não é possível que B seja um subgrupo de \left(\mathbb{Z}_{13}\right)^{*}. Conclusão imediata:
B\\ \text{não é subgrupo}.ãé

Passo 4

Agora analisar A=\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}. Observação inicial: |A|=4 e 4 divide 12, então pela condição de ordem não existe impossibilidade imediata — A ainda pode ser um subgrupo. Devemos verificar as propriedades: presença da identidade (já está \overline{1} em A), fechamento sob multiplicação e existência de inversos dentro de A. Basta encontrar uma violação para concluir que não é subgrupo.

Passo 5

Testar fechamento de A. Calcule produtos módulo 13 entre elementos de A. Um cálculo simples:
\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{2\cdot 3}=\overline{6}.
Aqui 2\cdot 3=6 e como 6<13 a classe é \overline{6}. Verificar se \overline{6} pertence a A: os elementos de A são apenas \overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}, então \overline{6}\notin A. Assim a operação não é fechada em A.

Passo 6

Como a propriedade de fechamento falha (exibimos um par cuja produto não está em A), concluímos imediatamente que A não é subgrupo. Não é necessário checar inversos individuais, porque falta a condição essencial de fechamento.

Passo 7

Resumo das conclusões e uma dica prática: B falha já pela questão de ordens (5 não divide 12). A tinha ordem admissível (4), mas falha na verificação direta de fechamento, por exemplo \overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{6}\notin A. Dica para a prova: primeiro cheque a condição de ordem (Lagrange) quando estiver em grupos finitos — é um filtro rápido; se passar nela, teste fechamento ou inversos explicitamente procurando um contraexemplo.

Resposta

\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\} não é subgrupo.
\{\overline{1},\overline{3},\overline{5},\overline{8},\overline{9}\} não é subgrupo.

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