Sejam A e B matrizes tais que
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ -4 & -4 & -4 \\\\ 5 & 6 & 7 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -5 & 1 \\\\ 0 & 3 & -2 \\\\ 1 & 2 & -4 \end{array}\right]
(a) Calcule A B, B A e A^{2}=A A.
(b) Calcule (A B)^{t}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ -4 & -4 & -4 \\\\ 5 & 6 & 7 \end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -5 & 1 \\\\ 0 & 3 & -2 \\\\ 1 & 2 & -4 \end{array}\right]
e pede:
  • (a) calcular A B, B A e A^{2}=A A;
  • (b) calcular (A B)^{t}.
As informações relevantes são as entradas de A e B acima e as operações matriciais solicitadas.

Passo 2

Regra útil antes de calcular: o produto C=AB é a matriz com entradas
c_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}b_{kj}.
Ou seja, cada entrada c_{ij} é o produto escalar da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B. Vou aplicar isso linha a linha. Primeiro calculemos a primeira linha de AB. A primeira linha de A é \,[1,2,3]\,.
Para a coluna 1 de B (que é [2,0,1]):
(AB)_{11}=1\cdot2+2\cdot0+3\cdot1=2+0+3=5.
Para a coluna 2 de B (que é [-5,3,2]):
(AB)_{12}=1\cdot(-5)+2\cdot3+3\cdot2=-5+6+6=7.
Para a coluna 3 de B (que é [1,-2,-4]):
(AB)_{13}=1\cdot1+2\cdot(-2)+3\cdot(-4)=1-4-12=-15.
Portanto, a primeira linha de AB é [5,7,-15].

Passo 3

Agora a segunda linha de A é [-4,-4,-4]. Calculo as entradas correspondentes de AB.
Coluna 1 de B:
(AB)_{21}=-4\cdot2+(-4)\cdot0+(-4)\cdot1=-8+0-4=-12.
Coluna 2 de B:
(AB)_{22}=-4\cdot(-5)+(-4)\cdot3+(-4)\cdot2=20-12-8=0.
Coluna 3 de B:
(AB)_{23}=-4\cdot1+(-4)\cdot(-2)+(-4)\cdot(-4)=-4+8+16=20.
Assim, a segunda linha de AB é [-12,0,20].

Passo 4

Terceira linha de A é [5,6,7]. Calculo as entradas:
Coluna 1 de B:
(AB)_{31}=5\cdot2+6\cdot0+7\cdot1=10+0+7=17.
Coluna 2 de B:
(AB)_{32}=5\cdot(-5)+6\cdot3+7\cdot2=-25+18+14=7.
Coluna 3 de B:
(AB)_{33}=5\cdot1+6\cdot(-2)+7\cdot(-4)=5-12-28=-35.
Portanto, juntando as linhas obtemos
AB=\left[\begin{array}{ccc} 5 & 7 & -15 \\\\ -12 & 0 & 20 \\\\ 17 & 7 & -35 \end{array}\right].

Passo 5

Agora calculamos BA. A regra é a mesma: cada entrada (BA)_{ij} é o produto escalar da i-ésima linha de B com a j-ésima coluna de A. Primeiro, linha 1 de B é [2,-5,1]. As colunas de A são [1,-4,5], [2,-4,6] e [3,-4,7].
Cálculos:
(BA)_{11}=2\cdot1+(-5)\cdot(-4)+1\cdot5=2+20+5=27,
(BA)_{12}=2\cdot2+(-5)\cdot(-4)+1\cdot6=4+20+6=30,
(BA)_{13}=2\cdot3+(-5)\cdot(-4)+1\cdot7=6+20+7=33.
Logo a primeira linha de BA é [27,30,33].

Passo 6

Segunda linha de B é [0,3,-2]. Calculo suas três entradas:
(BA)_{21}=0\cdot1+3\cdot(-4)+(-2)\cdot5=0-12-10=-22,
(BA)_{22}=0\cdot2+3\cdot(-4)+(-2)\cdot6=0-12-12=-24,
(BA)_{23}=0\cdot3+3\cdot(-4)+(-2)\cdot7=0-12-14=-26.
Assim, a segunda linha é [-22,-24,-26].

Passo 7

Terceira linha de B é [1,2,-4]. Cálculos:
(BA)_{31}=1\cdot1+2\cdot(-4)+(-4)\cdot5=1-8-20=-27,
(BA)_{32}=1\cdot2+2\cdot(-4)+(-4)\cdot6=2-8-24=-30,
(BA)_{33}=1\cdot3+2\cdot(-4)+(-4)\cdot7=3-8-28=-33.
Portanto
BA=\left[\begin{array}{ccc} 27 & 30 & 33 \\\\ -22 & -24 & -26 \\\\ -27 & -30 & -33 \end{array}\right].
Observação útil (para a prova): AB\neq BA aqui, mostrando que multiplicação de matrizes geralmente não comuta.

Passo 8

Agora A^{2}=A A. Usamos a mesma definição: cada entrada é produto escalar de linha i de A com coluna j de A. Primeiro, linha 1 de A é [1,2,3]. Colunas de A já listadas.
Cálculos da primeira linha de A^2:
(A^{2})_{11}=1\cdot1+2\cdot(-4)+3\cdot5=1-8+15=8,
(A^{2})_{12}=1\cdot2+2\cdot(-4)+3\cdot6=2-8+18=12,
(A^{2})_{13}=1\cdot3+2\cdot(-4)+3\cdot7=3-8+21=16.
Primeira linha de A^2 é [8,12,16].

Passo 9

Segunda linha de A é [-4,-4,-4]. Cálculos:
(A^{2})_{21}=-4\cdot1+(-4)\cdot(-4)+(-4)\cdot5=-4+16-20=-8,
(A^{2})_{22}=-4\cdot2+(-4)\cdot(-4)+(-4)\cdot6=-8+16-24=-16,
(A^{2})_{23}=-4\cdot3+(-4)\cdot(-4)+(-4)\cdot7=-12+16-28=-24.
Segunda linha é [-8,-16,-24].

Passo 10

Terceira linha de A é [5,6,7]. Cálculos:
(A^{2})_{31}=5\cdot1+6\cdot(-4)+7\cdot5=5-24+35=16,
(A^{2})_{32}=5\cdot2+6\cdot(-4)+7\cdot6=10-24+42=28,
(A^{2})_{33}=5\cdot3+6\cdot(-4)+7\cdot7=15-24+49=40.
Assim
A^{2}=\left[\begin{array}{ccc} 8 & 12 & 16 \\\\ -8 & -16 & -24 \\\\ 16 & 28 & 40 \end{array}\right].

Passo 11

Finalmente, (AB)^{t} é a transposta de AB. A transposta de uma matriz troca linha por coluna: (M^{t})_{ij}=M_{ji}. Usando o AB que encontramos:
AB=\left[\begin{array}{ccc} 5 & 7 & -15 \\\\ -12 & 0 & 20 \\\\ 17 & 7 & -35 \end{array}\right],
então
(AB)^{t}=\left[\begin{array}{ccc} 5 & -12 & 17 \\\\ 7 & 0 & 7 \\\\ -15 & 20 & -35 \end{array}\right].
Como dica rápida: também vale a identidade (AB)^{t}=B^{t}A^{t}, que pode servir para checar resultados.

Resposta

AB=\left[\begin{array}{ccc} 5 & 7 & -15 \\\\ -12 & 0 & 20 \\\\ 17 & 7 & -35 \end{array}\right]
BA=\left[\begin{array}{ccc} 27 & 30 & 33 \\\\ -22 & -24 & -26 \\\\ -27 & -30 & -33 \end{array}\right]
A^{2}=\left[\begin{array}{ccc} 8 & 12 & 16 \\\\ -8 & -16 & -24 \\\\ 16 & 28 & 40 \end{array}\right]
(AB)^{t}=\left[\begin{array}{ccc} 5 & -12 & 17 \\\\ 7 & 0 & 7 \\\\ -15 & 20 & -35 \end{array}\right]

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