Seja
um conjunto não vazio. Mostre que o conjunto das partes de
, munido da operação
Passo 1
O enunciado dá:
- Um conjunto não vazio
. - A operação binária definida em
(o conjunto das partes de ) por
para quaisquer
.
O que é pedido:
- Mostrar que
é um grupo. Ou seja, provar: - Fechamento (a operação leva pares de elementos de
para ); - Associatividade de
; - Existência de elemento neutro;
- Existência de inversos para todos os elementos.
- Fechamento (a operação leva pares de elementos de
- Opcionalmente, identificar se o grupo é abeliano.
Passo 2
Primeira observação (definição útil). A operação dada é precisamente a diferença simétrica entre conjuntos; costuma-se escrever
ou seja,
é o conjunto dos elementos que pertencem exatamente a um de
ou
(pertencem a um número ímpar de conjuntos quando generalizamos).
Agora, fechamento. Tome
. Então
e
. A diferença de subconjuntos de
satisfaz
Portanto
. Conclusão: a operação é fechada em
.
Passo 3
Elemento neutro. Vamos procurar
tal que, para todo
,
e
.
Teste natural:
. Calcule
e análogamente
(a operação é simétrica em
e
). Logo
é elemento neutro.
Passo 4
Inversos. Para
procuramos
tal que
(porque o inverso combinando-se com
deve dar o neutro). Calcule:
Logo cada conjunto é seu próprio inverso: o inverso de
é
mesmo. Isso mostra existência de inversos para todos os elementos de
.
Passo 5
Associatividade (parte mais técnica). Vou usar a função característica (indicadora) de conjuntos para tornar o argumento simples e sistemático.
Definição: para
Propriedade chave: dois subconjuntos
para todo
.
Agora mostro como a operação
aparece em termos das
. Para
e
,
Em palavras:
é o resto da soma
módulo
. Escrevendo soma em
(os inteiros módulo
) temos a identidade de funções
Agora calcule as características dos dois lados da associatividade desejada:
e
Como a adição em
é associativa,
. Portanto
como funções de
. Pela propriedade de unicidade da característica, obtemos
Isto prova que a operação
é associativa.
(Se preferir uma prova sem funções características: pode-se verificar caso a caso que a condição "pertence a um número ímpar de conjuntos entre
" é a mesma independentemente da ordenação dos pares de operações; o argumento por
é mais curto e sistemático.)]
Passo 6
Comutatividade (bônus). Pela expressão em termos de união e interseção é claro que
e
, logo
Assim a operação é comutativa, e portanto o grupo é abeliano.
Passo 7
Conclusão final juntando tudo:
- Fechamento: demonstrado no Passo 2.
- Elemento neutro:
(Passo 3). - Inversos: cada
é seu próprio inverso porque (Passo 4). - Associatividade: demonstrada pelo argumento com funções características (Passo 5).
Portantoé um grupo. Além disso, é um grupo abeliano (Passo 6).