Seja E um conjunto não vazio. Mostre que o conjunto das partes de E, munido da operação
X * Y=(X \cup Y)-(X \cap Y), \text { é um grupo. }é

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um conjunto não vazio E.
  • A operação binária definida em \mathcal{P}(E) (o conjunto das partes de E) por
X * Y = (X \cup Y) - (X \cap Y),
para quaisquer X,Y \subseteq E.
O que é pedido:
  • Mostrar que \big(\mathcal{P}(E),*\big) é um grupo. Ou seja, provar:
    1. Fechamento (a operação leva pares de elementos de \mathcal{P}(E) para \mathcal{P}(E));
    2. Associatividade de *;
    3. Existência de elemento neutro;
    4. Existência de inversos para todos os elementos.
  • Opcionalmente, identificar se o grupo é abeliano.

Passo 2

Primeira observação (definição útil). A operação dada é precisamente a diferença simétrica entre conjuntos; costuma-se escrever
X \Delta Y := (X \cup Y)-(X \cap Y),
ou seja, X \Delta Y é o conjunto dos elementos que pertencem exatamente a um de X ou Y (pertencem a um número ímpar de conjuntos quando generalizamos).
Agora, fechamento. Tome X,Y\in\mathcal{P}(E). Então X\cup Y\subseteq E e X\cap Y\subseteq E. A diferença de subconjuntos de E satisfaz
(X\cup Y)-(X\cap Y)\subseteq E.
Portanto X*Y\in\mathcal{P}(E). Conclusão: a operação é fechada em \mathcal{P}(E).

Passo 3

Elemento neutro. Vamos procurar e\in\mathcal{P}(E) tal que, para todo X\subseteq E, X*e=X e e*X=X.
Teste natural: e=\varnothing. Calcule
X * \varnothing = (X\cup\varnothing)-(X\cap\varnothing) = X - \varnothing = X,
e análogamente \varnothing * X = X (a operação é simétrica em X e \varnothing). Logo \varnothing é elemento neutro.

Passo 4

Inversos. Para X\in\mathcal{P}(E) procuramos Y tal que X*Y=\varnothing (porque o inverso combinando-se com X deve dar o neutro). Calcule:
X * X = (X\cup X)-(X\cap X)=X-X=\varnothing.
Logo cada conjunto é seu próprio inverso: o inverso de X é X mesmo. Isso mostra existência de inversos para todos os elementos de \mathcal{P}(E).

Passo 5

Associatividade (parte mais técnica). Vou usar a função característica (indicadora) de conjuntos para tornar o argumento simples e sistemático.
Definição: para A\subseteq E\) define-se \(\chi_A:E\to\{0,1\}\) por \[\chi_A(t)=\begin{cases}1,& t\in A,\\[4pt]0,& t\notin A.\end{cases}
Propriedade chave: dois subconjuntos A,B\subseteq E\] são iguais se e somente se \(\chi_A(t)=\chi_B(t) para todo t\in E.
Agora mostro como a operação \Delta aparece em termos das \chi. Para t\in E e X,Y\subseteq E,
t\in X\Delta Y \quad\Longleftrightarrow\quad \chi_X(t)+\chi_Y(t)\equiv 1\pmod{2}.
Em palavras: \chi_{X\Delta Y}(t) é o resto da soma \chi_X(t)+\chi_Y(t) módulo 2. Escrevendo soma em \mathbb{Z}_2 (os inteiros módulo 2) temos a identidade de funções
\chi_{X\Delta Y} = \chi_X + \chi_Y \qquad(\text{em } \mathbb{Z}_2).
Agora calcule as características dos dois lados da associatividade desejada:
\chi_{(X\Delta Y)\Delta Z} = (\chi_X+\chi_Y)+\chi_Z
e
\chi_{X\Delta(Y\Delta Z)} = \chi_X + (\chi_Y+\chi_Z).
Como a adição em \mathbb{Z}_2 é associativa, (\chi_X+\chi_Y)+\chi_Z=\chi_X+(\chi_Y+\chi_Z). Portanto
\chi_{(X\Delta Y)\Delta Z}=\chi_{X\Delta(Y\Delta Z)}
como funções de E. Pela propriedade de unicidade da característica, obtemos
(X\Delta Y)\Delta Z = X\Delta(Y\Delta Z).
Isto prova que a operação * é associativa.
(Se preferir uma prova sem funções características: pode-se verificar caso a caso que a condição "pertence a um número ímpar de conjuntos entre X,Y,Z" é a mesma independentemente da ordenação dos pares de operações; o argumento por \chi é mais curto e sistemático.)]

Passo 6

Comutatividade (bônus). Pela expressão em termos de união e interseção é claro que X\cup Y=Y\cup X e X\cap Y=Y\cap X, logo
X*Y=(X\cup Y)-(X\cap Y)= (Y\cup X)-(Y\cap X)=Y*X.
Assim a operação é comutativa, e portanto o grupo é abeliano.

Passo 7

Conclusão final juntando tudo:
  • Fechamento: demonstrado no Passo 2.
  • Elemento neutro: \varnothing (Passo 3).
  • Inversos: cada X é seu próprio inverso porque X*X=\varnothing (Passo 4).
  • Associatividade: demonstrada pelo argumento com funções características (Passo 5).
    Portanto \big(\mathcal{P}(E),*\big) é um grupo. Além disso, é um grupo abeliano (Passo 6).

Resposta

\big(\mathcal{P}(E),*\big) é um grupo abeliano; o elemento neutro é \varnothing e o inverso de X é X (ou seja, X*X=\varnothing para todo X\subseteq E).

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