Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 4 \\\\ -1 & 5 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc} 6 & -2 \\\\ 5 & 3 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cccc} -1 & 4 & 2 & 1 \\\\ 2 & 3 & 5 & 2 \\\\ 1 & 0 & -2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Calcule, se possível, as seguintes operações:
c) 3 A B^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular 3AB^2, em que
A é uma matriz 3\times2 e B é 2\times2.
Para isso, vamos seguir três etapas:
  1. calcular B^2,
  2. calcular AB^2,
  3. multiplicar o resultado por 3.

Passo 2

Primeiro, achamos
B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 6 & -2\\\\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2\\\\ 5 & 3 \end{pmatrix}
Calculando cada entrada, obtemos
B^2 = \begin{pmatrix} 6\cdot6 + (-2)\cdot5 & 6\cdot(-2) + (-2)\cdot3\\[6pt] 5\cdot6 + 3\cdot5 & 5\cdot(-2) + 3\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 26 & -18\\\\ 45 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos
AB^2 = \begin{pmatrix} 2 & 4\\\\ -1 & 5\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 26 & -18\\\\ 45 & -1 \end{pmatrix}.
Multiplicando linha a coluna, vem
AB^2 = \begin{pmatrix} 2\cdot26 + 4\cdot45 & 2\cdot(-18) + 4\cdot(-1)\\[6pt] (-1)\cdot26 + 5\cdot45 & (-1)\cdot(-18) + 5\cdot(-1)\\[6pt] 0\cdot26 + 1\cdot45 & 0\cdot(-18) + 1\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 232 & -40\\\\ 199 & 13\\\\ 45 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Por fim, multiplicamos por 3:
3AB^2 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 232 & -40\\\\ 199 & 13\\\\ 45 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 696 & -120\\\\ 597 & 39\\\\ 135 & -3 \end{pmatrix}.

Resposta

3AB^2 = \begin{pmatrix} 696 & -120\\\\ 597 & 39\\\\ 135 & -3 \end{pmatrix}.

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