Considere o seguinte sistema:
\left\{\begin{array}{l} 3 x+y=b \\\ a x+2 y=4 \end{array}\right.
Determine os valores de a e b para que o sistema:
a) seja possível e determinado.

Passo 1

O enunciado pede para que o sistema
\begin{cases} 3x + y = b,\\\ ax + 2y = 4 \end{cases}
seja possível e determinado. Isso significa que queremos existência e unicidade da solução. O conteúdo envolvido é o cálculo do determinante da matriz dos coeficientes e a condição de que esse determinante seja diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix}3 & 1 \\\ a & 2\end{pmatrix}
e calculamos o determinante:
\det(A) = 3\cdot2 - 1\cdot a = 6 - a.

Passo 3

Para que o sistema tenha solução única, é preciso
\det(A)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad 6 - a \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad a \neq 6.
Quando a\neq 6, o sistema sempre admite exatamente uma solução para qualquer valor de b.

Resposta

a \neq 6 e b pode ser qualquer número real.

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