Determine a solução do sistema:
\left\{\begin{array}{r} x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-y+3 z=9 \\\\ 3 x+3 y-2 z=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x + 2y - z = 2,\\\\ 2x - y + 3z = 9,\\\\ 3x + 3y - 2z = 3. \end{cases}
Vamos usar eliminação de Gauss, combinando equações para eliminar variáveis e encontrar x, y e z.

Passo 2

Multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos a segunda para eliminar x:
2\,(x+2y - z) = 2\cdot2
2x + 4y - 2z = 4
Agora
(2x + 4y - 2z) \;-\;(2x - y + 3z)\;=\;4 - 9
o que dá
5y - 5z = -5.
Dividindo por 5, obtemos
y - z = -1.

Passo 3

Da relação y - z = -1, segue
y = z - 1.
Substituindo isso na primeira equação x + 2y - z = 2:
x + 2(z - 1) - z = 2
x + 2z - 2 - z = 2
x + z = 4
x = 4 - z.

Passo 4

Agora substituímos x = 4 - z e y = z - 1 na terceira equação 3x + 3y - 2z = 3:
3(4 - z) + 3(z - 1) - 2z = 3
12 - 3z + 3z - 3 - 2z = 3
9 - 2z = 3
-2z = -6
z = 3.
Logo
y = z - 1 = 3 - 1 = 2,
x = 4 - z = 4 - 3 = 1.

Resposta

(x,y,z) = (1,2,3)

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