e pede três coisas:
(a) calcular A^{2};
(b) calcular A^{3};
(c) calcular A^{31}.
Vou listar claramente os dados e o que se quer: a matriz A está explicitada acima; as perguntas são sobre potências de A. Não há outras informações ou imagens.]
Passo 2
Primeiro vamos lembrar como multiplicar matrizes 2×2. Se
A=\left[\begin{array}{cc}a & b\\\ c & d\end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{cc}e & f\\\ g & h\end{array}\right],
Agora A^{3}=A^{2}\!A=I\!A. Como a identidade é elemento neutro do produto de matrizes, temos imediatamente
A^{3}=A.
Mas para responder A^{31} de maneira eficiente (sem multiplicar 31 vezes) é útil entender o comportamento de A^{n} em geral. Uma ferramenta natural é diagonalizar A (quando possível) para achar uma fórmula fechada para A^{n}.
Passo 5
Calcular autovalores de A. O polinômio característico é
Usar a diagonalização para potências: para todo inteiro positivo n\),
\[A^{n}=P D^{n} P^{-1}.
Aqui D^{n}=\left[\begin{array}{cc}1^{n} & 0\\[4pt]0 & (-1)^{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]0 & r\end{array}\right], onde r=(-1)^{n} vale 1 se n é par e -1 se n é ímpar.
Vamos calcular a forma explícita de A^{n}. Primeiro
P D^{n}=\left[\begin{array}{cc}1 & r\\[4pt]1 & 3r\end{array}\right],