Seja A=\left[\begin{array}{ll}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right], calcule: a) A^{2}
b) A^{3}
c) A^{31}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{ll}2 & -1 \\[4pt] 3 & -2\end{array}\right]
e pede três coisas:
(a) calcular A^{2};
(b) calcular A^{3};
(c) calcular A^{31}.
Vou listar claramente os dados e o que se quer: a matriz A está explicitada acima; as perguntas são sobre potências de A. Não há outras informações ou imagens.]

Passo 2

Primeiro vamos lembrar como multiplicar matrizes 2×2. Se
A=\left[\begin{array}{cc}a & b\\\ c & d\end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{cc}e & f\\\ g & h\end{array}\right],
então o produto C=AB tem entradas dadas por
c_{11}=ae+bg,\qquad c_{12}=af+bh,\qquad c_{21}=ce+dg,\qquad c_{22}=cf+dh.
Isto significa: para obter cada entrada de C multiplica-se a linha correspondente de A pelas colunas de B e soma-se.

Passo 3

Vamos aplicar essa regra para calcular A^{2}=A\cdot A. Usando A=\left[\begin{array}{cc}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{array}\right] temos, entrada a entrada:
\begin{aligned} (A^{2})_{11}&=2\cdot2+(-1)\cdot3=4-3=1,\\[4pt] (A^{2})_{12}&=2\cdot(-1)+(-1)\cdot(-2)=-2+2=0,\\[4pt] (A^{2})_{21}&=3\cdot2+(-2)\cdot3=6-6=0,\\[4pt] (A^{2})_{22}&=3\cdot(-1)+(-2)\cdot(-2)=-3+4=1. \end{aligned}
Portanto
A^{2}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{array}\right]=I,
que é a matriz identidade 2\times2.]

Passo 4

Agora A^{3}=A^{2}\!A=I\!A. Como a identidade é elemento neutro do produto de matrizes, temos imediatamente
A^{3}=A.
Mas para responder A^{31} de maneira eficiente (sem multiplicar 31 vezes) é útil entender o comportamento de A^{n} em geral. Uma ferramenta natural é diagonalizar A (quando possível) para achar uma fórmula fechada para A^{n}.

Passo 5

Calcular autovalores de A. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\left(\begin{array}{cc}2-\lambda & -1\\[4pt]3 & -2-\lambda\end{array}\right)=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\cdot3.
Desenvolvendo:
(2-\lambda)(-2-\lambda)+3=-(2-\lambda)(2+\lambda)+3=-(4-\lambda^{2})+3=-4+\lambda^{2}+3=\lambda^{2}-1.
Logo o polinômio característico é \lambda^{2}-1, e os autovalores são as raízes:
\lambda^{2}-1=0\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm1.]

Passo 6

Encontrar autovetores.
Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0:
A-I=\left[\begin{array}{cc}1 & -1\\[4pt]3 & -3\end{array}\right],
da qual a equação é x_1-x_2=0. Um autovetor conveniente é v_{1}=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\end{array}\right].
Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0:
A+I=\left[\begin{array}{cc}3 & -1\\[4pt]3 & -1\end{array}\right],
da qual 3x_1-x_2=0, logo um autovetor é v_{2}=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]3\end{array}\right].
Os autovalores são distintos, logo A é diagonalizável com matriz de autovetores
P=\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\[4pt]1 & 3\end{array}\right], \qquad D=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{array}\right],
e vale A=PDP^{-1}.]

Passo 7

Calcular P^{-1}. O determinante de P é
\det P=1\cdot3-1\cdot1=2.
Pelo inverso de 2×2,
P^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}3 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{array}\right].]

Passo 8

Usar a diagonalização para potências: para todo inteiro positivo n\), \[A^{n}=P D^{n} P^{-1}.
Aqui D^{n}=\left[\begin{array}{cc}1^{n} & 0\\[4pt]0 & (-1)^{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]0 & r\end{array}\right], onde r=(-1)^{n} vale 1 se n é par e -1 se n é ímpar.
Vamos calcular a forma explícita de A^{n}. Primeiro
P D^{n}=\left[\begin{array}{cc}1 & r\\[4pt]1 & 3r\end{array}\right],
e multiplicando por P^{-1}:
A^{n}=P D^{n} P^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}3-r & -1+r\\[4pt]3-3r & -1+3r\end{array}\right].
Agora analisar os dois casos:
  • Se n é par então r=1. Substituindo,
A^{n}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}3-1 & -1+1\\[4pt]3-3 & -1+3\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{array}\right]=I.
  • Se n é ímpar então r=-1. Substituindo,
A^{n}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}3-(-1) & -1+(-1)\\[4pt]3-3(-1) & -1+3(-1)\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}4 & -2\\[4pt]6 & -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{array}\right]=A.
Resumo prático: para todo inteiro n\ge1,
A^{n}=\begin{cases} I, & \text{se }n\text{ é par},\\[4pt] A, & \text{se }n\text{ é ímpar}. \end{cases}ééí
(É uma observação útil: aqui A^{2}=I\] e portanto \(A tem ordem 2 na multiplicação de matrizes.)]

Passo 9

Aplicar as conclusões aos casos pedidos:
  • (a) A^{2} com n=2 (par) dá A^{2}=I.
  • (b) A^{3} com n=3 (ímpar) dá A^{3}=A.
  • (c) A^{31} com n=31 (ímpar) dá A^{31}=A.

Resposta

(a) A^{2}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{array}\right]
(b) A^{3}=\left[\begin{array}{ll}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{array}\right]
(c) A^{31}=\left[\begin{array}{ll}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{array}\right]]

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