Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 5 \\\\ 1 & -1 & -3\end{array}\right].
Calcule (se possível) as seguintes operações (explicar quando não for possível):
\operatorname{det}\left(B M B^{-1}\right) onde M=-2 C A+B

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4 & -1 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 5 \\\\ 1 & -1 & -3\end{pmatrix}
e pede \det\bigl(BMB^{-1}\bigr) onde M=-2\,C\,A+B.
O conteúdo envolve multiplicação de matrizes, cálculo de determinante e a propriedade de similaridade
\det(BMB^{-1})=\det(B)\,\det(M)\,\det(B^{-1})=\det(M).

Passo 2

Primeiro verifique dimensões para formar M:
C é 2\times3 e A é 3\times2, logo C\,A é 2\times2, compatível com B ( 2\times2). Também note que
\det(B)=4\cdot0-(-1)\cdot2=2\neq0,
então B é invertível e a propriedade de similaridade vale.

Passo 3

Calcule C\,A:
C\,A=\begin{pmatrix}-1&0&5\\\ 1&-1&-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&0\\\ -1&2\\\ 1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} (-1)\cdot3+0\cdot(-1)+5\cdot1 & (-1)\cdot0+0\cdot2+5\cdot1\\[6pt] 1\cdot3+(-1)\cdot(-1)+(-3)\cdot1 & 1\cdot0+(-1)\cdot2+(-3)\cdot1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 5\\\ 1 & -5\end{pmatrix}.]

Passo 4

Forme M=-2\,C\,A+B:
-2\,C\,A=\begin{pmatrix}-4&-10\\\ -2&10\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}4&-1\\\ 2&0\end{pmatrix},
M=\begin{pmatrix}4-4 & -1-10\\[4pt]2-2 & 0+10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -11\\\ 0 & 10\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcule \det(M):
\det(M)=0\cdot10 - 0\cdot(-11)=0.
Pela propriedade de similaridade,
\det(BMB^{-1})=\det(M)=0.

Resposta

\det\bigl(BMB^{-1}\bigr)=0.

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