Cossidere os pontos P(-4,-3), Q(4,3) e R(2,-1) no plano \mathbb{R}^{2}.
Calcular a a área do triângulo P Q R ? O triângulo PQR é retângulo? Qual é a distância entre Q e a reta que passa pelos pontos P e R ?

Passo 1

O enunciado dá os pontos
P(-4,-3),\quad Q(4,3),\quad R(2,-1)
e pede:
  1. Área do triângulo PQR
  2. Se o triângulo é retângulo
  3. Distância de Q à reta que passa por P e R
O conteúdo envolve geometria analítica: vamos usar vetores, determinante para área, produto escalar para verificar ortogonalidade e fórmula da distância de ponto a reta.

Passo 2

Vamos calcular a área usando a fórmula
\text{Área} = \tfrac12\,\bigl|\det(\overrightarrow{PQ},\,\overrightarrow{PR})\bigr|.Á
Primeiro os vetores
\overrightarrow{PQ} = Q - P = (4-(-4),\,3-(-3)) = (8,6),
\overrightarrow{PR} = R - P = (2-(-4),\,-1-(-3)) = (6,2).
O determinante em \mathbb{R}^2 é
\det(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}) = \begin{vmatrix} 8 & 6\\\\ 6 & 2 \end{vmatrix} =8\cdot2 - 6\cdot6 =16 - 36 = -20.
Logo
\text{Área} = \tfrac12\,\bigl|{-20}\bigr| = 10.Á

Passo 3

Para ver se o triângulo é retângulo, basta checar se algum par de lados é ortogonal, ou seja, produto escalar zero. Por exemplo,
\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR} = (8,6)\cdot(6,2) = 8\cdot6 + 6\cdot2 = 48 + 12 = 60 \neq 0.
Testando as outras combinações (por exemplo \overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{QR}) também dá não nulo. Portanto, não há ângulo reto.

Passo 4

A distância de Q à reta PR pode ser obtida por
d = \frac{\bigl|\det(\overrightarrow{PR},\,\overrightarrow{PQ})\bigr|}{\|\overrightarrow{PR}\|}.
Já temos \det(\overrightarrow{PR},\overrightarrow{PQ}) = -\det(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}) = 20. E
\|\overrightarrow{PR}\| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.
Então
d = \frac{20}{2\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}.

Resposta

Área do triângulo PQR: 10
O triângulo é retângulo? Não.
Distância de Q à reta PR: \sqrt{10}

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