Um técnico sabe que duas baterias B_{1} e B_{2} de dois aparelhos tem 100 \% e 90 \% da carga total no momento quando os aparelhos foram ligados e as baterias se descargam a velocidade constante (ou linearmente) ao longo do tempo (os aparelhos tein que ficar ligados até que as baterias se descarregem). Um grupo de engenheiros e físicos sabem que a primeira bateria demora un teinpo de a horas para descarregar enquanto a bateria B_{2} demora duas horas mais do que a B_{1}. (Entre as perguntas 3-7 vocẽ pode usar as afirmações de perguntas anteriores ou posteriores se necessário. Ler cuidadosamente!)
Existe algum valor de a para o qual as retas de descarga sejam perpendiculares? Se existir um tal valor de a, então esse valor tem significado físico?

Passo 1

O enunciado descreve duas baterias B_{1} e B_{2} que descarregam linearmente com cargas iniciais de 100\% e 90\%, e tempos de descarga de a horas e a+2 horas respectivamente. Precisamos modelar as retas de carga em função do tempo e aplicar a condição de perpendicularidade entre retas no plano.

Passo 2

Representamos a carga da bateria B_{1} em função do tempo t por uma função afim que passa pelos pontos (0,100) e (a,0). Sua inclinação é
m_{1}=\frac{0-100}{a-0}=-\frac{100}{a}.

Passo 3

De forma análoga, a bateria B_{2} tem carga inicial 90\% e descarrega até zero em t=a+2. Logo sua inclinação é
m_{2}=\frac{0-90}{(a+2)-0}=-\frac{90}{a+2}.

Passo 4

Duas retas com inclinações m_{1} e m_{2} são perpendiculares se, e somente se,
m_{1}\,m_{2}=-1.
Substituindo os valores:
m_{1}\,m_{2} =\Bigl(-\frac{100}{a}\Bigr)\Bigl(-\frac{90}{a+2}\Bigr) =\frac{9000}{a(a+2)}.

Passo 5

Impondo \displaystyle \frac{9000}{a(a+2)}=-1 obtemos
9000 = -\,a\,(a+2) \quad\Longleftrightarrow\quad\na^{2}+2a+9000=0.

Passo 6

O discriminante é \Delta=2^{2}-4\cdot1\cdot9000=4-36000<0, logo não há solução real para a. Assim, não existe um valor físico de a que torne as retas perpendiculares.

Resposta

Não há valor real de a; portanto, não existe significado físico para essa situação.

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