Questão 3) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores u, v e w. Sabe-se que u=(k, 1,2), v=(3,-1,0) e o vetor w é tal que os pontos X(1,1,1), Y(2,3,0) e Z(4,7, p) são colineares, e \mathrm{w}=\vec{X} \vec{Z}. Se o volume do paralelepípedo é de 10 u.v., determine o(s) valor(es) de k e p.
Passo 1
O enunciado pede para determinar k e p em dois requisitos:
Os pontos X(1,1,1), Y(2,3,0) e Z(4,7,p) são colineares, e o vetor \mathrm w do paralelepípedo é \vec X\vec Z.
O volume do paralelepípedo formado pelos vetores
\mathbf u=(k,1,2),\quad \mathbf v=(3,-1,0),\quad \mathrm w=\vec X\vec Z
é 10 unidades de volume.
Vamos usar (a) a condição de colinearidade entre \vec{XY} e \vec{XZ} para achar p e (b) a fórmula do volume via produto misto para achar k.
Passo 2
Calculemos primeiro
\vec{XY} = Y - X = (2,3,0) - (1,1,1) = (1,2,-1),
\vec{XZ} = Z - X = (4,7,p) - (1,1,1) = (3,6,p-1).
Como X, Y e Z são colineares, existe escalar t tal que
\vec{XY} = t\,\vec{XZ}.
Comparando coordenadas, da primeira temos 1 = 3t, logo t=\tfrac13. Da segunda obtemos 2 = 6t, que confirma t=\tfrac13. Da terceira: