Questão 3) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores u, v e w. Sabe-se que u=(k, 1,2), v=(3,-1,0) e o vetor w é tal que os pontos X(1,1,1), Y(2,3,0) e Z(4,7, p) são colineares, e \mathrm{w}=\vec{X} \vec{Z}. Se o volume do paralelepípedo é de 10 u.v., determine o(s) valor(es) de k e p.

Passo 1

O enunciado pede para determinar k e p em dois requisitos:
  1. Os pontos X(1,1,1), Y(2,3,0) e Z(4,7,p) são colineares, e o vetor \mathrm w do paralelepípedo é \vec X\vec Z.
  2. O volume do paralelepípedo formado pelos vetores
\mathbf u=(k,1,2),\quad \mathbf v=(3,-1,0),\quad \mathrm w=\vec X\vec Z
é 10 unidades de volume.
Vamos usar (a) a condição de colinearidade entre \vec{XY} e \vec{XZ} para achar p e (b) a fórmula do volume via produto misto para achar k.

Passo 2

Calculemos primeiro
\vec{XY} = Y - X = (2,3,0) - (1,1,1) = (1,2,-1),
\vec{XZ} = Z - X = (4,7,p) - (1,1,1) = (3,6,p-1).
Como X, Y e Z são colineares, existe escalar t tal que
\vec{XY} = t\,\vec{XZ}.
Comparando coordenadas, da primeira temos 1 = 3t, logo t=\tfrac13. Da segunda obtemos 2 = 6t, que confirma t=\tfrac13. Da terceira:
-1 = t\,(p-1) = \tfrac13\,(p-1) \quad\Longrightarrow\quad p-1 = -3 \quad\Longrightarrow\quad p = -2.

Passo 3

Com p=-2, o vetor \mathrm w=\vec{XZ} fica
\mathrm w = (3,6,p-1) = (3,6,-2-1) = (3,6,-3).

Passo 4

O volume do paralelepípedo gerado por \mathbf u, \mathbf v e \mathrm w é dado por
\text{Vol} = \bigl|\det[\mathbf u,\mathbf v,\mathrm w]\bigr|.
Montando a matriz e calculando o determinante:
\det \begin{pmatrix} k & 1 & 2\\\\ 3 & -1 & 0\\\\ 3 & 6 & -3 \end{pmatrix} = k\cdot\bigl((-1)(-3)-0\cdot6\bigr) -1\cdot\bigl(3\cdot(-3)-0\cdot3\bigr) +2\cdot\bigl(3\cdot6-(-1)\cdot3\bigr).
Isso é
3k \;-\;1\cdot(-9)\;+\;2\cdot(18+3) =3k +9 +42 =3k +51.
Como \bigl|3k+51\bigr|=10, temos as duas equações
3k+51 = 10 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{10-51}{3} = -\frac{41}{3},
3k+51 = -10 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{-10-51}{3} = -\frac{61}{3}.

Resposta

k = -\tfrac{41}{3} ou k = -\tfrac{61}{3},\quad p = -2.

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