Dê a definição do conceito de base de um subespaço W de \mathbb{R}^{n}.
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Passo 1

O enunciado pede: “Dê a definição do conceito de base de um subespaço W de \mathbb{R}^{n}.”
Informação dada: temos um subespaço qualquer W de \mathbb{R}^{n}. Não há outros dados numéricos. O que se pede é a definição formal do que significa que um conjunto seja uma base de W.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar dois conceitos que entram na definição: “gerar” (span) e “dependência linear”. Vou definir ambos de forma simples e com fórmulas.
Definição de gerar (span): seja um conjunto finito de vetores B=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\} com cada v_{i}\in\mathbb{R}^{n}. Dizemos que B gera um subespaço U se todo vetor u\in U pode ser escrito como combinação linear dos vetores de B. Em símbolos:
\text{span}(B)=\left\{\,\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}\;\middle|\;\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}\in\mathbb{R}\right\}.
Se \text{span}(B)=U, dizemos que B gera U.
Explicação intuitiva: gerar significa que com soma e multiplicação por escalares dos vetores de B eu consigo construir qualquer vetor do subespaço.

Passo 3

Definição de (in)dependência linear: o conjunto B=\{v_{1},\dots,v_{k}\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}=0
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{k}=0. Caso contrário (isto é, exista uma combinação não trivial que dá zero) dizemos que B é linearmente dependente.
Explicação intuitiva: linearmente independente significa que nenhum vetor do conjunto pode ser formado como combinação linear dos outros; eles trazem “informação nova” cada um.

Passo 4

Agora a definição de base propriamente dita. Juntando os conceitos:
Definição formal: um conjunto B=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\} com v_{i}\in W é uma base de W se e somente se
  1. \text{span}(B)=W (ou seja, B gera W), e
  2. B é linearmente independente.
Em símbolo:
B\subset W\quad\text{é base de }W\iff \text{span}(B)=W\text{ e } \alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}=0\Rightarrow \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{k}=0.é
Comentário didático: essa definição garante duas coisas importantes — cobertura e unicidade. Cobertura porque todo vetor de W é combinação dos vetores de B. Unicidade porque, por causa da independência linear, essa combinação é única: cada vetor de W tem uma única escrita como \alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}.

Passo 5

Propriedades úteis (curtas, para cair em prova):
  • O número de vetores numa base de W é chamado dimensão de W.
  • Em \mathbb{R}^{n} qualquer conjunto de vetores linearmente independente tem no máximo n vetores, portanto uma base de um subespaço de \mathbb{R}^{n} tem \le n vetores.
  • Exemplo rápido: para o subespaço W formado pelos vetores do tipo (x,y,0) em \mathbb{R}^{3}, o conjunto \{(1,0,0),(0,1,0)\} é uma base de W porque gera W e é linearmente independente.

Resposta

Uma base de W é um conjunto finito B=\{v_{1},\dots,v_{k}\}\subset W tal que \text{span}(B)=W e B é linearmente independente.

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