Dê a definição do conceito de base de um subespaço
de
.
(a) 0,5 pts.
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Passo 1
O enunciado pede: “Dê a definição do conceito de base de um subespaço
de
.”
Informação dada: temos um subespaço qualquer de
. Não há outros dados numéricos. O que se pede é a definição formal do que significa que um conjunto seja uma base de
.
Informação dada: temos um subespaço qualquer
Passo 2
Primeiro vamos lembrar dois conceitos que entram na definição: “gerar” (span) e “dependência linear”. Vou definir ambos de forma simples e com fórmulas.
Definição de gerar (span): seja um conjunto finito de vetores
com cada
. Dizemos que
gera um subespaço
se todo vetor
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
. Em símbolos:
Se
, dizemos que
gera
.
Explicação intuitiva: gerar significa que com soma e multiplicação por escalares dos vetores de
eu consigo construir qualquer vetor do subespaço.
Passo 3
Definição de (in)dependência linear: o conjunto
é linearmente independente se a única solução do sistema
é
. Caso contrário (isto é, exista uma combinação não trivial que dá zero) dizemos que
é linearmente dependente.
Explicação intuitiva: linearmente independente significa que nenhum vetor do conjunto pode ser formado como combinação linear dos outros; eles trazem “informação nova” cada um.
Passo 4
Agora a definição de base propriamente dita. Juntando os conceitos:
Definição formal: um conjunto
com
é uma base de
se e somente se
-
(ou seja, gera ), e -
é linearmente independente.
Em símbolo:
Comentário didático: essa definição garante duas coisas importantes — cobertura e unicidade. Cobertura porque todo vetor de
é combinação dos vetores de
. Unicidade porque, por causa da independência linear, essa combinação é única: cada vetor de
tem uma única escrita como
.
Passo 5
Propriedades úteis (curtas, para cair em prova):
- O número de vetores numa base de
é chamado dimensão de . - Em
qualquer conjunto de vetores linearmente independente tem no máximo vetores, portanto uma base de um subespaço de tem vetores. - Exemplo rápido: para o subespaço
formado pelos vetores do tipo em , o conjunto é uma base de porque gera e é linearmente independente.
Resposta
Uma base de
é um conjunto finito
tal que
e
é linearmente independente.