Considere as matrizes e E=(cc5 & 4 6 & 11). Escolha a alternativa verdadeira:
(a) det(D)=10
(b) det(D E)=62
(c) As matrizes D e E comuntam.
(d) det(D+E)=29
(e) det(E)=-31
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes D e E em R^2times2 e pede para verificar cinco afirmações:
determinante de D, determinante de DE, se D e E comutam, determinante de D+E e determinante de E.
Vamos usar definição de determinante em 2times2, a propriedade det(DE)=det(D)det(E) e verificar diretamente o produto de matrizes para checar comutatividade.
Passo 2
Calculando pela fórmula , temos
Passo 3
Calculando det(E) da mesma forma,
det(E) = 5cdot 11 - 4cdot 6 = 55 - 24 = 31
Passo 4
Pela propriedade de determinantes de produto,
det(DE) = det(D),det(E) = (-2)cdot 31 = -62
Logo a afirmação que diz det(DE)=62 é falsa, pois na verdade det(DE)=-62.
Passo 5
Vamos calcular
DE = 1&23&45&46&11 = 17&2639&56
e
ED = 5&46&111&23&4 = 17&2639&56
Como DE=ED, as matrizes comutam.
Passo 6
Finalmente, D+E = 1+5&2+43+6&4+11 = 6&69&15.
Seu determinante é
det(D+E) = 6cdot 15 - 6cdot 9 = 90 - 54 = 36,
de modo que a alternativa que diz det(D+E)=29 também é falsa.