Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) ( ) As matrizes e B=(cc5 & 0 -6 & 7) comuntam.
(b) ( ) Se A for uma matriz 6 times 4 e B uma matriz m times n tal que B^t A^t é uma matriz 2 times 6, então m=4 e n=2.
(c) ( ) Se A, B e C forem matrizes de mesma ordem tais que A-C=B-C, então A=B.
(d) ( ) Se A, B e C forem matrizes de mesma ordem tais que A C=B C, então A=B.
(e) ( ) Se A for uma matriz 3 times 3, então det(2 A)=2 det(A).
(f) ( ) Se A é uma matriz inversível, então Adj(A) também é inversível, onde Adj(A) denota a matriz adjunta de A.
Passo 1
O enunciado traz seis afirmações sobre matrizes envolvendo:
– comutatividade de produto;
– dimensões em transposta e produto;
– cancelamento em soma e produto;
– propriedade de homogeneidade do determinante;
– invertibilidade da matriz adjunta.
Vamos usar as definições e propriedades básicas de multiplicação, transposição, determinante e adjunta de matrizes para avaliar cada caso.
Passo 2
(a) Para verificar se A e B comutam, calculamos
AB = 1&23&-4 5&0-6&7 =1cdot5+2cdot(-6)&1cdot0+2cdot73cdot5+(-4)cdot(-6)&3cdot0+(-4)cdot7 =-7&1439&-28,
BA = 5&0-6&7 1&23&-4 =5cdot1+0cdot3&5cdot2+0cdot(-4)-6cdot1+7cdot3&-6cdot2+7cdot(-4) =5&1015&-40
Como ABneq BA, a afirmação é falsa.
Passo 3
(b) Se A é 6times4 então A^t é 4times6. Seja B de ordem mtimes n, então B^t é ntimes m. Para que B^tA^t seja definido, o número de colunas de B^t (que é m) deve igualar o número de linhas de A^t (que é 4), logo m=4. O produto terá dimensão ntimes6, e nos dizem que é 2times6, logo n=2. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
(c) Se A, B e C são da mesma ordem e A - C = B - C, somando C a ambos os lados obtemos A = B. Isso é a propriedade de cancelamento na soma, válida para matrizes de mesma ordem. A afirmação é verdadeira.
Passo 5
(d) Da igualdade AC = BC não podemos concluir A=B sem assumir que C seja invertível. Por exemplo, se C for a matriz nula, AC=BC=0 mesmo com Aneq B. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 6
(e) Para uma matriz 3times3, vale det(kA)=k^3det(A). Portanto det(2A)=2^3det(A)=8det(A), não 2det(A). A afirmação é falsa.
Passo 7
(f) A matriz adjunta satisfaz Adj(A)=det(A),A^-1. Se A é invertível, det(A)neq0 e A^-1 existe; o produto de uma escalar não nulo por uma matriz invertível é invertível. Logo Adj(A) também é invertível. A afirmação é verdadeira.