Dadas as matrizes \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 0 & 2\end{array}\right) e \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 4 & 6\end{array}\right), calcule e compare os resultados:
(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes e pede para calcular e comparar o resultado de (\mathbf{A}+\mathbf{B})^{2}.
Dados:
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & 6\end{pmatrix}.
O que devemos entregar:
  1. Calcular (\mathbf{A}+\mathbf{B})^{2}.
  2. Comparar esse resultado com as expressões usuais envolvendo \mathbf{A} e \mathbf{B} (por exemplo \mathbf{A}^{2}+\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{B}\mathbf{A}+\mathbf{B}^{2} e \mathbf{A}^{2}+2\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{B}^{2}).]

Passo 2

Primeiro somamos as matrizes elemento a elemento para obter \mathbf{A}+\mathbf{B}.
\mathbf{A}+\mathbf{B}= \begin{pmatrix} 1+2 & 3+1 \\[4pt] 0+4 & 2+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\[4pt] 4 & 8 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos (\mathbf{A}+\mathbf{B})^{2}=(\mathbf{A}+\mathbf{B})(\mathbf{A}+\mathbf{B}). Para multiplicar duas matrizes 2\times2 usamos a regra: elemento (i,j) do produto é a soma dos produtos da i-ésima linha da primeira pela j-ésima coluna da segunda.
Seja \mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]4 & 8\end{pmatrix}. Calculamos cada entrada de \mathbf{C}^{2}:
  • Entrada (1,1): 3\cdot 3 + 4\cdot 4 = 9 + 16 = 25.
  • Entrada (1,2): 3\cdot 4 + 4\cdot 8 = 12 + 32 = 44.
  • Entrada (2,1): 4\cdot 3 + 8\cdot 4 = 12 + 32 = 44.
  • Entrada (2,2): 4\cdot 4 + 8\cdot 8 = 16 + 64 = 80.
Portanto
(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{2}= \begin{pmatrix} 25 & 44 \\[4pt] 44 & 80 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para comparar, calculamos \mathbf{A}^{2}, \mathbf{B}^{2}, \mathbf{A}\mathbf{B} e \mathbf{B}\mathbf{A} separadamente.
  1. \mathbf{A}^{2}=\mathbf{A}\mathbf{A}:
\mathbf{A}^{2}= \begin{pmatrix} 1\cdot1+3\cdot0 & 1\cdot3+3\cdot2 \\[4pt] 0\cdot1+2\cdot0 & 0\cdot3+2\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\[4pt] 0 & 4 \end{pmatrix}.
  1. \mathbf{B}^{2}=\mathbf{B}\mathbf{B}:
\mathbf{B}^{2}= \begin{pmatrix} 2\cdot2+1\cdot4 & 2\cdot1+1\cdot6 \\[4pt] 4\cdot2+6\cdot4 & 4\cdot1+6\cdot6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 8 \\[4pt] 32 & 40 \end{pmatrix}.
  1. \mathbf{A}\mathbf{B}:
\mathbf{A}\mathbf{B}= \begin{pmatrix} 1\cdot2+3\cdot4 & 1\cdot1+3\cdot6 \\[4pt] 0\cdot2+2\cdot4 & 0\cdot1+2\cdot6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 19 \\[4pt] 8 & 12 \end{pmatrix}.
  1. \mathbf{B}\mathbf{A}:
\mathbf{B}\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 2\cdot1+1\cdot0 & 2\cdot3+1\cdot2 \\[4pt] 4\cdot1+6\cdot0 & 4\cdot3+6\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\[4pt] 4 & 24 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora somamos \mathbf{A}^{2}+\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{B}\mathbf{A}+\mathbf{B}^{2} e comparamos com (\mathbf{A}+\mathbf{B})^{2}.
Somando elemento a elemento:
\mathbf{A}^{2}+\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{B}\mathbf{A}+\mathbf{B}^{2}= \begin{pmatrix} 1+14+2+8 & 9+19+8+8 \\[4pt] 0+8+4+32 & 4+12+24+40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 & 44 \\[4pt] 44 & 80 \end{pmatrix}.
Isso coincide exatamente com (\mathbf{A}+\mathbf{B})^{2} calculado no Passo 3, ou seja a identidade matricial
(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{2}=\mathbf{A}^{2}+\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{B}\mathbf{A}+\mathbf{B}^{2}
é verificada numericamente neste caso (e é verdadeira em geral para matrizes).
Como observação importante: a expressão escalar \mathbf{A}^{2}+2\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{B}^{2} seria igual a (\mathbf{A}+\mathbf{B})^{2} somente se \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A} (ou seja, se \mathbf{A} e \mathbf{B} comutassem). Aqui temos
\mathbf{A}\mathbf{B}=\begin{pmatrix}14 & 19 \\[4pt]8 & 12\end{pmatrix},\qquad \mathbf{B}\mathbf{A}=\begin{pmatrix}2 & 8 \\[4pt]4 & 24\end{pmatrix},
que são diferentes, então \mathbf{A}^{2}+2\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{B}^{2} não coincide com (\mathbf{A}+\mathbf{B})^{2}. De fato, calculando:
\mathbf{A}^{2}+2\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{B}^{2}= \begin{pmatrix} 37 & 55 \\[4pt] 48 & 68 \end{pmatrix},
que é diferente de \begin{pmatrix}25 & 44\\[4pt]44 & 80\end{pmatrix}.]

Resposta

(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{2}=\begin{pmatrix}25 & 44 \\[4pt]44 & 80\end{pmatrix}
(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{2}=\mathbf{A}^{2}+\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{B}\mathbf{A}+\mathbf{B}^{2}, e (\mathbf{A}+\mathbf{B})^{2}\neq \mathbf{A}^{2}+2\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{B}^{2} (pois \mathbf{A}\mathbf{B}\neq\mathbf{B}\mathbf{A}).]

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