Considere as matrizes A=[rrrr1 & 0 & -1 & 2 0 & 3 & 1 & -1 2 & 4 & 0 & 3 -3 & 1 & -1 & 2], B=[rr1 & 2 3 & -1 0 & -2 4 & 1] e C=[rrrr3 & -2 & 0 & 5 1 & 0 & -3 & 4].
A matriz F=B C A está definida? Se sim, qual é o seu elemento f43 ?

Passo 1

O enunciado dá
AinR^4times4, BinR^4times2, CinR^2times4
e pede para analisar a existência da matriz
F = B,C,A
e, caso exista, calcular seu elemento f43. Vamos usar compatibilidade de dimensões para produto de matrizes e, em seguida, o cálculo do produto apenas na linha e coluna necessárias.

Passo 2

Verificamos dimensões:
B é 4times2 e C é 2times4, logo o produto BC é 4times4. Em seguida, BC ( 4times4) multiplicado por A ( 4times4) resulta em uma matriz F de tamanho 4times4. Portanto, F=BCA está definida.

Passo 3

Defina D = B,C. Para achar f43 só precisamos da 4ª linha de D e da 3ª coluna de A.
A 4ª linha de B é l[4;;1r] e
C = 3 & -2 & 0 & 5 1 & 0 & -3 &4
Então a 4ª linha de D é
D4j = 4cdot C1j + 1cdot C2j,
isto é,
linha 4 de D = l[,4cdot3+1cdot1,;4cdot(-2)+1cdot0,;4cdot0+1cdot(-3),;4cdot5+1cdot4r]
=l[13,;-8,;-3,;24r]

Passo 4

A 3ª coluna de
A= 1 & 0 & -1 & 2 0 & 3 & 1 &-1 2 & 4 & 0 & 3 -3& 1 & -1 & 2
é l[-1,;1,;0,;-1r]^T.
Logo
f43 = l(linha 4 de Dr)cdotl(coluna 3 de Ar) =13cdot(-1)+(-8)cdot1+(-3)cdot0+24cdot(-1) =-13-8+0-24=-45

Resposta

A matriz F=BCA está definida e o elemento f43 vale -45.

Exercícios relacionados