Considere as matrizes A=[rrrr1 & 0 & -1 & 2 0 & 3 & 1 & -1 2 & 4 & 0 & 3 -3 & 1 & -1 & 2], B=[rr1 & 2 3 & -1 0 & -2 4 & 1] e C=[rrrr3 & -2 & 0 & 5 1 & 0 & -3 & 4].
A matriz D=A B C está definida? Se sim, qual é o seu elemento d34 da linha 3 e coluna 4?

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
AinR^4times4, BinR^4times2, CinR^2times4
e pede para verificar se o produto D=ABC está definido e, em caso afirmativo, calcular o elemento d34. O conteúdo usado aqui é compatibilidade de dimensões e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Para que ABC exista, precisamos ter compatibilidade de dimensões em cada multiplicação:
  1. A,(4times4) pode multiplicar B,(4times2), gerando uma matriz AB de dimensões 4times2.
  2. Em seguida, (AB),(4times2) pode multiplicar C,(2times4), gerando D=ABC de dimensões 4times4.
    Logo, D está definida e é uma matriz 4times4.

Passo 3

Para encontrar d34, note que
D=(AB),C,
então
d34=sumk=1^2(AB)3k,Ck4
Primeiro calculamos os dois elementos da linha 3 de AB:
A linha 3 de A é l(2;;4;;0;;3r).
A coluna 1 de B é l(1,3,0,4r)^T e a coluna 2 é l(2,-1,-2,1r)^T.
(AB)3,1 =2cdot1 + 4cdot3 + 0cdot0 + 3cdot4 =26,
(AB)3,2 =2cdot2 + 4cdot(-1) + 0cdot(-2) + 3cdot1 =3

Passo 4

Agora usamos esses valores e as entradas de C na coluna 4:
C1,4=5, C2,4=4
Logo,
d34 =(AB)3,1,C1,4+(AB)3,2,C2,4 =26cdot5 + 3cdot4 =142

Resposta

A matriz D=ABC está definida (é 4times4) e
d34=142

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