Seja T: 1^3 1^3𝟙𝟙 dada por T(x, y, z)=(z, x-y, y).
T é injeção? T é sobrejeção?

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
;T:R^3toR^3
por
T(x,y,z) = (,z,;x - y,;y,)
Para decidir se T é injetora e sobrejetora, vamos usar as noções de núcleo (kernel) e o Teorema da Dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Calculamos o núcleo de
Isso leva ao sistema
Da terceira equação vem obtemos . E da primeira temos . Logo

Passo 3

Como ker(T) contém apenas o vetor nulo, concluímos que T é injetora.

Passo 4

Em espaços de mesma dimensão finita (aqui dim(R^3)=3), qualquer transformação linear injetora é também sobrejetora (rank–nullity dá dim(Im,T)=3). Portanto, T é sobrejetora.

Resposta

T é injetora? Sim.
T é sobrejetora? Sim.

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