Seja T: 1^3 1^3𝟙𝟙 dada por T(x, y, z)=(z, x-y, y).
Caso T seja injeção e sobrejeção, determine T^-1.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z)=(z,;x-y,;y),
e pede a sua inversa. Como T é um endomorfismo de R^3 com posto máximo, ela é bijetora, então podemos achar T^-1 resolvendo um sistema linear.

Passo 2

Seja (u,v,w)=T(x,y,z). Então temos o sistema
u = z, v = x - y, w = y

Passo 3

Do terceiro item vem imediatamente
y = w,
e do primeiro
z = u
Substituindo y=w em v = x - y obtém-se
x = v + y = v + w

Passo 4

Portanto a inversa de T leva (u,v,w) em
(x,y,z) = (v + w,;w,;u)

Resposta

T^-1(u,v,w) = (,v + w,;w,;u,)

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