Considere as matrizes A=[cc12 & 12 12 & 12], B=[rr1 & 0 0 & -1] e C=A B. Na mesma notação para potências inteiras de matrizes do exercício anterior, calcule: A^37;

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = tfrac12 & tfrac12 [6pt] tfrac12 & tfrac12
e pede A^37.
O conteúdo aqui é potência de matrizes, e vamos usar a propriedade de matrizes idempotentes (isto é, matrizes que satisfazem A^2 = A).]

Passo 2

Vamos calcular explicitamente
A^2 = tfrac12 & tfrac12 [3pt] tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 [3pt] tfrac12 & tfrac12 = tfrac12cdottfrac12 + tfrac12cdottfrac12 & tfrac12cdottfrac12 + tfrac12cdottfrac12 [6pt] tfrac12cdottfrac12 + tfrac12cdottfrac12 & tfrac12cdottfrac12 + tfrac12cdottfrac12 = tfrac12 & tfrac12 [3pt] tfrac12 & tfrac12 = A ]

Passo 3

Como A^2 = A, por indução ou pelo próprio conceito de matriz idempotente, concluímos que para todo inteiro n>=1 vale
A^n = A

Resposta

A^37 = tfrac12 & tfrac12 [3pt] tfrac12 & tfrac12 ]

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