Determine, caso existam, valores de c e d tais que a matriz X= [cc1 & 13 c & d] satisfaz X^2=-I2, onde I2 denota a matriz identidade 2 times 2.
[^0]Aqui, estamos usando a seguinte notação comum em Álgebra Linear: dada uma matriz M e um inteiro positivo p, a potência M^p representa o produto M cdot M cdot M cdots M da matriz M por si mesma p vezes. Caso você encontre que existe pelo menos um valor para c e d compatíveis, você estará verificando que na Álgebra Matricial existem raízes quadradas de -1 (uma vez que, conforme discutido em sala, as matrizes identidade I fazem o papel de elemento neutro para a operação de multiplicação matricial, podemos pensar em -I:=(-1) I como fazendo aqui o papel do número real -1 - isto é, do negativo do elemento neutro da multiplicação)!!!

Passo 1

O enunciado pede para achar valores de c e d de modo que a matriz
X=1 & tfrac13[6pt]c & d
satisfa
X^2 = -I2,
ou seja, que o quadrado de X seja a matriz -1 vezes a identidade.
Para isso vamos usar multiplicação de matrizes e igualar cada entrada de X^2 à correspondente de -I2.
]

Passo 2

Calculemos
X^2 =1 & tfrac13[3pt]c & d 1 & tfrac13[3pt]c & d = 1cdot1 + tfrac13c & 1cdottfrac13 + tfrac13d[6pt] ccdot1 + d c & ccdottfrac13 + d^2 = 1 + tfracc3 & tfrac13 + tfracd3[6pt] c(1+d) & tfracc3 + d^2
]

Passo 3

Queremos
X^2 = -I2 = -1 & 0[3pt]0 & -1,
então igualamos as entradas correspondentes:
1 + tfracc3 = -1,[6pt] tfrac13 + tfracd3 = 0,[6pt] c(1+d) = 0,[6pt] tfracc3 + d^2 = -1
]

Passo 4

Da primeira equação
1 + tfracc3 = -1 Longrightarrow tfracc3 = -2 Longrightarrow c = -6
Da segunda
tfrac13 + tfracd3 = 0 Longrightarrow tfrac1+d3 = 0 Longrightarrow d = -1
Substituindo c=-6 e d=-1 em c(1+d)=0 e em tfracc3+d^2=-1 vemos que ambas ficam
-6,(1-1)=0, tfrac-63+(-1)^2=-2+1=-1,
ou seja, são satisfeitas.

Resposta

c = -6 e d = -1.

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