Considere as matrizes A=[cc12 & 12 12 & 12], B=[rr1 & 0 0 & -1] e C=A B. Na mesma notação para potências inteiras de matrizes do exercício anterior, calcule: C^42. Após trabalhar nos seus cálculos, pesquise no Google os conceitos de matriz idempotente e de matriz nilpotente.

Passo 1

O enunciado nos d’a as matrizes
A = tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12, B = 1 & 0 0 & -1,
e define C = A,B. Queremos calcular C^42. O conte’udo 'e pot^encias de matrizes, observando se C 'e idempotente ( C^2=C) ou nilpotente ( C^k=0 para algum k).

Passo 2

Calculemos primeiro
C = A,B = tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 1 & 0 0 & -1 = tfrac12 & -tfrac12 tfrac12 & -tfrac12

Passo 3

Agora calculemos
C^2 = tfrac12 & -tfrac12 tfrac12 & -tfrac12 tfrac12 & -tfrac12 tfrac12 & -tfrac12 = 0 & 0 0 & 0
Portanto, C 'e nilpotente de 'indice 2.

Passo 4

Para todo inteiro n>=2 vale
C^n = C^n-2,C^2 = C^n-2,0 = 0
Em particular, C^42 = 0.

Resposta

C^42 = 0 & 0 0 & 0

Exercícios relacionados