Considere as matrizes particionadas
e
tais que os produtos
e
sejam bem definidos.
[
\mathbf{A}=\left[
\right] e \mathbf{B}=\left[
\right] , mostre que \mathbf{A B}=\mathbf{B} \mathbf{A} qualquer que seja \mathbf{C} .
\mathbf{A}=\left[
Passo 1
O enunciado apresenta duas matrizes particionadas
A =
e
B =
e
B =
Queremos mostrar que o produto em blocos A B e B A são bem definidos e iguais. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes particionadas e usaremos a regra padrão para blocos.
Passo 2
Para multiplicar duas matrizes particionadas
usa-se
No nosso caso,
Passo 3
Vamos calcular A B bloco a bloco:
- Bloco (1,1):
. - Bloco (1,2):
. - Bloco (2,1):
. - Bloco (2,2):
.
Portanto
Passo 4
Agora calculamos B A pelo mesmo processo:
- Bloco (1,1):
. - Bloco (1,2):
. - Bloco (2,1):
. - Bloco (2,2):
.
Logo
Passo 5
Como A B e B A coincidem e dão a matriz identidade, concluímos que A e B comutam para qualquer C.