Considere as matrizes particionadas A e B tais que os produtos A B e B A sejam bem definidos.
[
\mathbf{A}=\left[ ll I & 0 C & I \right] e \mathbf{B}=\left[ cc I & 0 -C & I \right] , mostre que \mathbf{A B}=\mathbf{B} \mathbf{A} qualquer que seja \mathbf{C} .

Passo 1

O enunciado apresenta duas matrizes particionadas
A = I & 0 C & I
e
B = I & 0 -C & I
Queremos mostrar que o produto em blocos A B e B A são bem definidos e iguais. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes particionadas e usaremos a regra padrão para blocos.

Passo 2

Para multiplicar duas matrizes particionadas
A = A11 & A12 A21 & A22 , B = B11 & B12 B21 & B22
usa-se
AB = A11B11 + A12B21 & A11B12 + A12B22 A21B11 + A22B21 & A21B12 + A22B22
No nosso caso,
A11=I, A12=0, A21=C, A22=I, B11=I, B12=0, B21=-C, B22=I

Passo 3

Vamos calcular A B bloco a bloco:
  • Bloco (1,1): Icdot I + 0cdot(-C) = I + 0 = I.
  • Bloco (1,2): Icdot 0 + 0cdot I = 0 + 0 = 0.
  • Bloco (2,1): Ccdot I + Icdot(-C) = C - C = 0.
  • Bloco (2,2): Ccdot 0 + Icdot I = 0 + I = I.
    Portanto
AB = I & 0 0 & I

Passo 4

Agora calculamos B A pelo mesmo processo:
  • Bloco (1,1): Icdot I + 0cdot C = I + 0 = I.
  • Bloco (1,2): Icdot 0 + 0cdot I = 0 + 0 = 0.
  • Bloco (2,1): (-C)cdot I + Icdot C = -C + C = 0.
  • Bloco (2,2): (-C)cdot 0 + Icdot I = 0 + I = I.
    Logo
BA = I & 0 0 & I

Passo 5

Como A B e B A coincidem e dão a matriz identidade, concluímos que A e B comutam para qualquer C.

Resposta

AB = BA = I

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