Uma matriz quadrada é dita ser idempotente se A^2=A A=A. Dada a matriz Q sendo A dempotente, encontre Q^200, em que: llI & A 0 & A.

Passo 1

O enunciado pede para calcular Q^200 onde A é idempotente (isto é, A^2=A) e
Q=I & A[0.3em]0 & A
O conteúdo envolve propriedades de matrizes idempotentes e a potência de matrizes triangulares em blocos.

Passo 2

Sabendo que A é idempotente temos
A^2=A,
logo para todo k>=1 vale
A^k=A
e também A^0=I.

Passo 3

Para uma matriz em blocos triangulares superiores
Q=B & C[0.3em]0 & D,
existe a fórmula
Q^n=B^n & sumk=0^n-1B^n-1-kC,D^k[0.4em]0 & D^n

Passo 4

No nosso caso, B=I e D=A. Assim
B^n=I^n=I,
D^n=A^n=I,&n=0,A,&n>=1
Em particular para n=200, D^200=A.

Passo 5

Agora o bloco superior direito fica
sumk=0^199Icdot Acdot A^k=sumk=0^199A^k+1
Como A^k+1=A para todo k>=0, são 200 termos iguais a A, ou seja,
sumk=0^199A^k+1=200A

Passo 6

Reunindo tudo, para n=200 obtemos
Q^200=I & 200A[0.3em]0 & A

Resposta

Q^200=I & 200A[0.3em]0 & A

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