Uma matriz quadrada é dita ser idempotente se
. Dada a matriz
sendo
dempotente, encontre
, em que:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é idempotente (isto é,
) e
O conteúdo envolve propriedades de matrizes idempotentes e a potência de matrizes triangulares em blocos.
Passo 2
Sabendo que
é idempotente temos
logo para todo
vale
e também
.
Passo 3
Para uma matriz em blocos triangulares superiores
existe a fórmula
Passo 4
No nosso caso,
B=I e
D=A . Assim
Em particular para
n=200 ,
D^200=A .
Passo 5
Agora o bloco superior direito fica
Como
A^k+1=A para todo
k>=0 , são 200 termos iguais a
A , ou seja,
Passo 6
Reunindo tudo, para
n=200 obtemos