Verifique se as igualdades abaixo são válidas:
binomn2+binomn3=n^3-n6

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a identidade envolvendo coeficientes binomiais abaixo é válida:
Conteúdo: identidades com combinações e simplificação algébrica.
Precisamos usar as fórmulas de binomn2 e binomn3 em termos de produtos e fatoriais para fazer a soma e simplificar.

Passo 2

Escrevendo cada termo em forma de fração usando as fórmulas binomnk=n(n-1)cdots(n-k+1)k!:
binomn2=n(n-1)2
binomn3=n(n-1)(n-2)6

Passo 3

Colocando ambas as frações sobre o mesmo denominador (6) e somando:
binomn2+binomn3 =3,n(n-1)6+n(n-1)(n-2)6 =n(n-1)l(3+(n-2)r)6

Passo 4

Simplificando o numerador:
Dentro do parêntese temos 3+(n-2)=n+1, logo
n(n-1)(n+1)6 =nl(n^2-1r)6 =n^3-n6
Isso coincide exatamente com o lado direito da identidade.

Passo 5

Concluímos que, ao simplificar a soma dos binomiais, obtemos (n^3-n)/6, mostrando que a igualdade é válida.

Resposta

A igualdade é válida, pois binomn2+binomn3=n(n-1)(n+1)6=n^3-n6.

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