Considere matrizes A, B in M2(R).
Prove que:
vale a igualdade det(A B)=det(A) det(B).

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para quaisquer matrizes A,Bin M2(R), vale
det(AB)=det(A),det(B)
O conteúdo usado será a definição de determinante para matrizes 2times2 e cálculo direto das entradas do produto.

Passo 2

Escrevemos as matrizes genéricas
A = a & b[6pt] c & d, B = e & f[6pt] g & h ]

Passo 3

O produto AB tem entradas
AB = ae + b,g & a,f + b,h[6pt] c,e + d,g & c,f + d,h ]

Passo 4

Pela definição de determinante em M2(R),
det(AB) = (ae + bg),(cf + dh);-;(af + bh),(ce + dg)

Passo 5

Expandindo cada produto, obtemos
det(AB) = aecdot cf + aecdot dh + bgcdot cf + bgcdot dh ;-;l(afcdot ce + afcdot dg + bhcdot ce + bhcdot dgr)
Agrupando termos que envolvem aecdot cf e cancelando com afcdot ce, e fazendo o mesmo para os outros pares, chega-se a
det(AB) = ad,(eh - fg) ;-; bc,(eh - fg) = (ad - bc),(eh - fg)

Passo 6

Como por definição
det(A) = ad - bc e det(B) = eh - fg,
concluímos
det(AB) = (ad-bc),(eh-fg) = det(A),det(B)

Resposta

Foi provado que det(AB)=det(A),det(B).

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