Considere matrizes A, B in M2(R).
Prove que:
Você conhece um caso em que, a partir de uma dada matriz M, podemos definir duas matrizes A e B de modo que det(M)=det(A)+det(B).

Passo 1

O enunciado pede que, dada uma matriz genérica Min M2(R), encontremos duas matrizes A e B tais que
det(M)=det(A)+det(B)
O que vamos usar é a fórmula do determinante de uma matriz 2times2.

Passo 2

Seja
M= a & b c & d ,
onde a,b,c,dinR. Vamos escolher A como a parte diagonal de M e B como a parte off-diagonal de M, isto é:
A= a & 0 0 & d , B= 0 & b c & 0

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Como A é diagonal,
det(A)=acdot d - 0cdot 0 = ad

Passo 4

Agora calculamos o determinante de B. Em B só há elementos fora da diagonal principal, então
det(B)=0cdot 0 - bcdot c = -,b c

Passo 5

Somando esses dois resultados obtemos
det(A)+det(B) =ad +(-bc) =ad - bc =det(M)

Resposta

Definindo
temos .

Exercícios relacionados