Considere as matrizes reais A=\left(\begin{array}{ll}1 & x \\\\ 3 & 1\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{cc}2 x & 3+x \\\\ 3+x & 10\end{array}\right).
Encontre o valor de x e reescreva a matriz A, sabendo que o produto dessa matriz por sua transposta é a matriz C.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & x \\\\ 3 & 1\end{pmatrix}
e
C = \begin{pmatrix}2x & 3 + x \\\\ 3 + x & 10\end{pmatrix},
e pede para achar x de modo que A\,A^T = C. Em seguida, reescrever A.

Passo 2

Vamos computar o produto
AA^T = \begin{pmatrix}1 & x \\\\ 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 3 \\\ x & 1\end{pmatrix}.
Pelo cálculo de multiplicação de matrizes, obtemos
AA^T = \begin{pmatrix} 1^2 + x^2 & 1\cdot3 + x\cdot1\\\\ 3\cdot1 + 1\cdot x & 3^2 + 1^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + x^2 & 3 + x\\\\ 3 + x & 10 \end{pmatrix}.

Passo 3

Como queremos AA^T = C, igualamos o elemento (1,1) de ambas as matrizes:
1 + x^2 = 2x.
Isso leva à equação
x^2 - 2x + 1 = 0,
ou seja (x - 1)^2 = 0.

Passo 4

Da equação (x - 1)^2 = 0 conclui-se
x = 1.
Substituindo esse valor em A, fica
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix}.

Resposta

x = 1 e
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados