Responda se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
"Se W=[(1,0,0,2),(2,1,0,-1),(0,3,1,2),(1,0,0,3),(0,0,1,0)], então W=\mathbb{R}^{4 "}.

Passo 1

O enunciado dá cinco vetores em \mathbb{R}^4 e pergunta se o espaço gerado por eles coincide com \mathbb{R}^4. O conteúdo é posto (rank) de uma matriz cujas linhas são esses vetores: se o posto for 4, então eles geram todo \mathbb{R}^4.

Passo 2

Montamos a matriz A cujas linhas são os vetores de W:
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 2 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para triangularizar:
  1. R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, R_4 \leftarrow R_4 - R_1
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & -5 \\\\ 0 & 3 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
  1. R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & -5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 17 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Passo 4

Na forma escalonada há pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4, logo
\mathrm{rank}(A) = 4.
Como o posto é 4, a dimensão do espaço gerado é 4 e portanto esse espaço é todo \mathbb{R}^4.

Resposta

Verdadeiro, pois os vetores têm posto 4 e geram \mathbb{R}^4.

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