Encontre uma base para o subespaço U definido a seguir:
U=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; 2 x-2 y+7 z-5 w=0\right. e \left.y-7 z+4 w=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço U\subset\mathbb{R}^{4} definido pelas duas equações lineares homogêneas
\begin{cases} 2x-2y+7z-5w=0,\\\ y-7z+4w=0. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistema linear homogêneo por eliminação de variáveis para expressar a solução em função de parâmetros livres.

Passo 2

Da segunda equação temos
y-7z+4w=0 \quad\Longrightarrow\quad y=7z-4w.
Substituímos esse resultado na primeira equação:
2x-2(7z-4w)+7z-5w=0 \;\Longrightarrow\; 2x-14z+8w+7z-5w=0 \;\Longrightarrow\; 2x-7z+3w=0.
Logo,
x=\frac{7z-3w}{2}.

Passo 3

Escolhemos z e w como parâmetros livres. Denotando z=a e w=b, obtemos a solução geral
(x,y,z,w) =\Bigl(\tfrac{7a-3b}{2},\,7a-4b,\,a,\,b\Bigr) =a\Bigl(\tfrac{7}{2},7,1,0\Bigr)+b\Bigl(-\tfrac{3}{2},-4,0,1\Bigr).

Passo 4

Para evitar frações, multiplicamos cada vetor por 2. Assim uma base de U é dada pelos vetores
v_1=(7,14,2,0), \quad v_2=(-3,-8,0,2),
que são linearmente independentes e geram todas as soluções.

Resposta

\{(7,14,2,0),\;(-3,-8,0,2)\}

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