Verifique se as matrizes dadas a seguir são invertíveis. Justifique sua resposta.
A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -6 \\\\ 0 & 1 & 5 \\\\ 2 & 3 & 7\end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & -3 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 5 \\\\ 1 & 2 & 0 & 4 \\\\ -2 & 0 & 1 & 7\end{array}\right) \quad e \quad C=\left(\begin{array}{cc}5 & -7 \\\\ 2 & 8\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -6\\\\ 0 & 1 & 5\\\\ 2 & 3 & 7 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 5\\\\ 1 & 2 & 0 & 4\\\\ -2 & 0 & 1 & 7 \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} 5 & -7\\\\ 2 & 8 \end{pmatrix}
são invertíveis. O conteúdo fundamental é que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Vamos usar o critério do determinante não-nulo para cada caso:
  • Para A ( 3\times 3) e C ( 2\times 2) calculamos diretamente o determinante.
  • Para B ( 4\times 4) faremos eliminação de Gauss até triangular e multiplicaremos os pivôs, levando em conta o efeito das trocas de linhas no sinal do determinante.

Passo 3

Determinante de A. Pelo desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&5\\\ 3&7\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&5\\\ 2&7\end{pmatrix} +(-6)\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&3\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}1&5\\\ 3&7\end{pmatrix} =1\cdot7-5\cdot3=-8,\quad \det\!\begin{pmatrix}0&5\\\ 2&7\end{pmatrix} =0\cdot7-5\cdot2=-10,\quad \det\!\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&3\end{pmatrix} =0\cdot3-1\cdot2=-2.
Logo
\det(A) =1\cdot(-8)-2\cdot(-10)+(-6)\cdot(-2) =-8+20+12=24\neq0.
Portanto A é invertível.

Passo 4

Determinante de B por eliminação de Gauss:
1. Usamos R_1 como pivô 2 e zeramos as colunas abaixo;
2. Obtemos, sem troca de linhas até esse ponto, uma forma triangular superior com pivôs 2, 1{,}5, -1 e -32/3.
3. Nenhuma troca de linhas foi necessária (ou se houve uma troca, ela só muda o sinal final), então
\det(B) =2\;\times1{,}5\times(-1)\times\Bigl(-\tfrac{32}{3}\Bigr) =2\cdot1{,}5\cdot\frac{32}{3} =32\neq0.
Assim B é invertível.

Passo 5

Determinante de C ( 2\times 2):
\det\text{(C)} =5\cdot8-(-7)\cdot2 =40+14=54\neq0.
Logo C é invertível.

Resposta

As três matrizes A, B e C são invertíveis, pois seus determinantes são diferentes de zero.

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