Considere as matrizes A=[lll1 & 4 & 6 2 & 3 & 4 3 & 2 & 2] e X=[lx y z].
a) ( 1,5 pt ) Resolva o sistema linear homogêneo A X=0.
Solução: Após aplicar as seguintes operações na matriz A :
L2-2 L1 longrightarrow L2 L3-3 L1 longrightarrow L3 L2-5 longrightarrow L2 L1-4 L2 longrightarrow L1 L3+10 L2 longrightarrow L3
obtemos a forma (elr) de A que é
[ccc 1 & 0 & -25 0 & 1 & 85 0 & 0 & 0 ]
Logo, o sistema associado tem solução
Xh=[c25 z -85 z z]
b) ( 0,5 pt ) Encontre uma solução particular do sistema linear não-homogêneo A X=B, onde B=[c11 9 7].
Solução: Uma solução particular do sistema não homogêneo é X0=[l1 1 1]
c) (0,5 pt) Determine a solução geral do sistema linear não-homogêneo A X=B. Solução: A solução geral do sistema não homogêneo é
X=Xh+X0=[c 25 z+1 -85 z+1 z+1 ]

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema linear com A=1&4&62&3&43&2&2 e X=(x,y,z)^T:\n 1. Resolver o homogêneo A,X=0. \n 2. Achar uma solução particular de A,X=B, onde B=(11,9,7)^T. \n 3. Escrever a solução geral de A,X=B. \nVamos usar eliminação de Gauss para o homogêneo e depois superpor a parte particular.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada
que equivale ao sistema
Aqui (z] é livre.]

Passo 3

Da equação acima temos x = tfrac25z, y = -tfrac85z, z=z
Assim a solução geral do homogêneo é
Xh = ztfrac25[2pt]-tfrac85[2pt]1 ]

Passo 4

Para achar uma solução particular de A,X=B, tentamos
X0=111
Verificamos
A,X0 =1+4+62+3+43+2+2 =1197 =B,
portanto X0 é de fato solução particular.

Passo 5

A solução geral de A,X=B é a soma da parte particular com a homogênea:
X = X0 + Xh =111 +ztfrac25[2pt]-tfrac85[2pt]1 = 1 + tfrac25z[4pt] 1 - tfrac85z[4pt] 1 + z ,
onde zinR.]

Resposta

(a) ;Xh=z,l(tfrac25,-tfrac85,1r)^T\n(b) ;X0=(1,1,1)^T\n(c) ;X=(1+tfrac25z,;1-tfrac85z,;1+z)^T,;zinR

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