Considere o seguinte sistema linear:
r x-y+z=1 x-y=1 x+y+z=1
a) ( 1,0 pt ) Denotando por C a matriz dos coeficientes do sitema acima, calcule det C e classifique o sistema.
Solução: A matriz dos coeficientes é C=[ccc1 & -1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & 1], logo, det C=2
b) ( 1,0 pt ) Determine C^-1.
Solução: C^-1=[ccc-12 & 1 & 12 -12 & 0 & 12 1 & -1 & 0]
c) (0,5 pt) Encontre a solução do sistema.
Solução: A solução do sistema C X=B, onde det C neq 0 é obtida por
X=C^-1 B=[ccc -12 & 1 & 12 -12 & 0 & 12 1 & -1 & 0 ][l 1 1 1 ]=[l 1 0 0 ]

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear de três equações
x - y + z = 1, x - y = 1, x + y + z = 1
O objetivo é:
– calcular o determinante da matriz de coeficientes C e classificar o sistema;
– determinar a inversa C^-1;
– encontrar a solução X.
Vamos usar a definição de determinante por regra de Sarrus e a fórmula da inversa via matriz adjunta (cofatores).

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
C = 1 & -1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & 1
Aplicando a regra de Sarrus para obter det C:
det C =1cdot(-1)cdot1 + (-1)cdot0cdot1 + 1cdot1cdot1 -l(1cdot(-1)cdot1 + (-1)cdot1cdot1 + 1cdot0cdot1r) = -1 + 0 + 1 -l(-1 -1 +0r) = 0 -(-2) =2
Como det C=2neq0, o sistema é possível e determinado (tem única solução).

Passo 3

Para calcular C^-1 usamos
C^-1 = 1det C,adj(C),
onde adj(C) é a transposta da matriz de cofatores de C. Calculando os cofatores obtemos
cof(C) = -1 & -1 & 2 2 & 0 & -2 1 & 1 & 0 ,
então
adj(C) =l(cof(C)r)^T = -1 & 2 & 1 -1 & 0 & 1 2 & -2 & 0
Dividindo por det C=2 chega-se a
C^-1 =12 -1 & 2 & 1 -1 & 0 & 1 2 & -2 & 0 = -tfrac12 & 1 & tfrac12 -tfrac12 & 0 & tfrac12 1 & -1 & 0

Passo 4

Para encontrar a solução X resolvemos
X = C^-1B, B=111
Fazendo a multiplicação:
X = -tfrac12 & 1 & tfrac12 -tfrac12 & 0 & tfrac12 1 & -1 & 0 111 = -tfrac12+1+tfrac12 -tfrac12+0+tfrac12 1-1+0 =100

Resposta

(a) , logo o sistema é possível e determinado.
(b)
(c)

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