Encontrar todos os valores de lambda para o qual o sistema de equações lineares homogêneo tem soluções não triviais.
(lambda+2) x1-2 x2+3 x3=0
-2 x1+(lambda-1) x2+6 x3=0
x1+ 2 x2+lambda x3=0

Passo 1

O enunciado pede os valores de lambda tais que o sistema homogêneo
(lambda+2)x1-2x2+3x3=0, -2x1+(lambda-1)x2+6x3=0, x1+2x2+lambda x3=0
tenha solução não trivial. Isso ocorre exatamente quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes:
A(lambda) = lambda+2 & -2 & 3 -2 & lambda-1 & 6 1 & 2 & lambda
Para existir solução não trivial, devemos ter det A(lambda)=0.

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha. Chamando
A=lambda+2, B=-2, C=3,
D=-2, E=lambda-1, F=6,
G=1, H=2, I=lambda,
temos
det A(lambda) = A(EI - FH) - B(DI - FG) + C(DH - EG)

Passo 4

Calculando cada termo:
EI - FH = (lambda-1)lambda - 6cdot2 = lambda^2 - lambda -12,
DI - FG = -2lambda -6,
DH - EG = -4 - (lambda-1)= -lambda -3
Logo
det A(lambda) = (lambda+2)(lambda^2 - lambda -12) ;-;(-2)(-2lambda-6) ;+;3(-lambda-3)
Expandindo,
det A(lambda) = lambda^3 + lambda^2 -14lambda -24 ;-;4lambda -12 ;-;3lambda -9 = lambda^3 + lambda^2 -21lambda -45

Passo 5

Resolvemos a equação
lambda^3 + lambda^2 -21lambda -45 = 0
Testando raízes inteiras, lambda=5 é raiz. Fazendo divisão sintética por lambda-5 obtemos o quociente lambda^2+6lambda+9=(lambda+3)^2.
Portanto as raízes são
lambda=5 e lambda=-3 (dupla)

Resposta

lambda=5 ou lambda=-3.

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