Verdadeiro ou falso? Nos Exercícios 59 e 60, determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se uma afirmação for verdadeira, dê uma justificativa ou cite uma afirmação apropriada do texto. Se uma afirmação for falsa, forneça um exemplo que mostra que a afirmação não é verdadeira em todos os casos ou cite uma afirmação apropriada do texto.
(b) Um sistema consistente de equações lineares pode ter infinitas soluções.
(b) Um sistema consistente de equações lineares pode ter infinitas soluções.
Passo 1
A afirmação trata de um sistema linear consistente — isto é, um sistema de equações lineares que admite ao menos uma solução — e pergunta se tal sistema pode ter infinitas soluções. O conteúdo envolve a classificação de soluções de sistemas lineares segundo o número de variáveis livres.
Passo 2
Pelo teorema sobre soluções de sistemas lineares, temos:
– Se um sistema é consistente e não há variáveis livres (todas as colunas de incógnitas são pivôs), então existe solução única.
– Se um sistema é consistente e há pelo menos uma variável livre, então existem infinitas soluções.
– Se um sistema é consistente e não há variáveis livres (todas as colunas de incógnitas são pivôs), então existe solução única.
– Se um sistema é consistente e há pelo menos uma variável livre, então existem infinitas soluções.
Passo 3
Como basta que haja ao menos uma variável livre para gerar infinitas soluções, concluímos que a afirmação “um sistema consistente de equações lineares pode ter infinitas soluções” é verdadeira.
Passo 4
Exemplo concreto: o sistema em
é consistente e possui uma variável livre; suas soluções são
logo há infinitas soluções.
Resposta
Verdadeiro.