Verdadeiro ou falso? Nos Exercícios 59 e 60, determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se uma afirmação for verdadeira, dê uma justificativa ou cite uma afirmação apropriada do texto. Se uma afirmação for falsa, forneça um exemplo que mostra que a afirmação não é verdadeira em todos os casos ou cite uma afirmação apropriada do texto.
(b) Um sistema consistente de equações lineares pode ter infinitas soluções.

Passo 1

A afirmação trata de um sistema linear consistente — isto é, um sistema de equações lineares que admite ao menos uma solução — e pergunta se tal sistema pode ter infinitas soluções. O conteúdo envolve a classificação de soluções de sistemas lineares segundo o número de variáveis livres.

Passo 2

Pelo teorema sobre soluções de sistemas lineares, temos:
– Se um sistema é consistente e não há variáveis livres (todas as colunas de incógnitas são pivôs), então existe solução única.
– Se um sistema é consistente e pelo menos uma variável livre, então existem infinitas soluções.

Passo 3

Como basta que haja ao menos uma variável livre para gerar infinitas soluções, concluímos que a afirmação “um sistema consistente de equações lineares pode ter infinitas soluções” é verdadeira.

Passo 4

Exemplo concreto: o sistema em R^2
x + y = 1
é consistente e possui uma variável livre; suas soluções são
(x,y) = (t,,1-t), tinR,
logo há infinitas soluções.

Resposta

Verdadeiro.

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