Considere o seguinte sistema linear.
x+2 y+3 w & =1 y-z+2 w & =2 x+z+k w & =0 y-w & =-1
a) ( 1,0 pt ) Determine a condição sobre k para que o sistema seja SPD.
Solução: Como se trata de um sistema quadrado, ele será SPD se, e somente se, a matriz dos coeficientes é invertível, isto é, ela possui determinante não nulo. Assim, basta determinar a condição sobre o k que torna o determinante da matriz dos coeficientes não-nulo.
det[]=2-k
Logo o sistema será SPD se, e só se, k neq 2.
b) ( 1,5 pt ) Considerando a condição sobre k obtida no item a), encontre a solução do SPD.
Solução: Após realizar a seguinte sequência de operações elementares na matriz ampliada do sistema,
L3-L1 longrightarrow L3 L1-2 L2 longrightarrow L3 L3+2 L2 longrightarrow L3 L4-L2 longrightarrow L4 L4-L3 longrightarrow L4 L4k-2 longrightarrow L4
Obtemos a seguinte matriz el
[ccccc 1 & 2 & 0 & 3 & 1 0 & 1 & -1 & 2 & 2 0 & 0 & 1 & -k-1 & -3 0 & 0 & 0 & 1 & 0 ]
Cuja solução do sistema linear associado é
X=[c 3 -1 -3 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas: x, y, z e w. O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas lineares e matrizes, especialmente determinantes para verificar se o sistema tem solução única. A gente vai precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) do exercício. A questão quer saber para quais valores de k o sistema será SPD. Aqui, SPD significa que a matriz é invertível, ou seja, ela tem determinante diferente de zero. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa e o sistema não tem solução única.

Passo 3

Vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 1 & 0 & 1 & k 0 & 1 & 0 & -1
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Existem várias maneiras de calcular, mas uma forma mais simples é expandir pelo método de cofactores ou usar operações de linha para simplificar.

Passo 4

Após calcular o determinante, encontramos que:
det(A) = 2 - k
Para que a matriz seja invertível, esse determinante precisa ser diferente de zero. Então, estabelecemos a condição:
2 - k neq 0 implies k neq 2

Passo 5

Agora, vamos para a parte b). Sabemos que k neq 2, então a matriz é invertível e o sistema tem uma solução única. Vamos resolver o sistema usando operações elementares na matriz ampliada.

Passo 6

A matriz aumentada do sistema é:
[cccc|c 1 & 2 & 0 & 3 & 1 0 & 1 & -1 & 2 & 2 1 & 0 & 1 & k & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -1 ]
Vamos realizar as seguintes operações para triangularizar a matriz:
  1. L3 - L1 L3
  2. L4 - L2 L4
Após essas operações, a matriz fica:
[cccc|c 1 & 2 & 0 & 3 & 1 0 & 1 & -1 & 2 & 2 0 & -2 & 1 & k - 3 & -1 0 & 0 & 1 & -3 & -3 ]

Passo 7

Continuando com as operações:
  1. L3 + 2L2 L3
  2. L4 - L3 L4
  3. L4k - 2 L4
A matriz fica então:
[cccc|c 1 & 2 & 0 & 3 & 1 0 & 1 & -1 & 2 & 2 0 & 0 & 1 & -k -1 & -3 0 & 0 & 0 & 1 & 0 ]

Passo 8

Com a matriz na forma triangular, podemos escrever as equações correspondentes:
x + 2y + 3w = 1 y - z + 2w = 2 z - (k +1)w = -3 w = 0
Como w = 0, substituímos nas equações acima:
  • Da última equação, já temos w = 0.
  • Substituindo em z - (k +1)(0) = -3, obtemos z = -3.
  • Substituindo z = -3 e w = 0 na segunda equação: y - (-3) + 2(0) = 2 implies y + 3 = 2 implies y = -1.
  • Finalmente, substituindo y = -1 e w = 0 na primeira equação: x + 2(-1) + 3(0) = 1 implies x -2 =1 implies x =3.

Resposta

A solução do sistema SPD é:
X = 3 -1 -3 0

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