a) ( 1,0 pt ) Determine a condição sobre k para que o sistema seja SPD.
Solução: Como se trata de um sistema quadrado, ele será SPD se, e somente se, a matriz dos coeficientes é invertível, isto é, ela possui determinante não nulo. Assim, basta determinar a condição sobre o k que torna o determinante da matriz dos coeficientes não-nulo.
det[]=2-k
Logo o sistema será SPD se, e só se, k neq 2.
b) ( 1,5 pt ) Considerando a condição sobre k obtida no item a), encontre a solução do SPD.
Solução: Após realizar a seguinte sequência de operações elementares na matriz ampliada do sistema,
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas: x, y, z e w. O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas lineares e matrizes, especialmente determinantes para verificar se o sistema tem solução única. A gente vai precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes e resolver algumas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) do exercício. A questão quer saber para quais valores de k o sistema será SPD. Aqui, SPD significa que a matriz é invertível, ou seja, ela tem determinante diferente de zero. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa e o sistema não tem solução única.
Passo 3
Vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Existem várias maneiras de calcular, mas uma forma mais simples é expandir pelo método de cofactores ou usar operações de linha para simplificar.
Passo 4
Após calcular o determinante, encontramos que:
det(A) = 2 - k
Para que a matriz seja invertível, esse determinante precisa ser diferente de zero. Então, estabelecemos a condição:
2 - k neq 0 implies k neq 2
Passo 5
Agora, vamos para a parte b). Sabemos que k neq 2, então a matriz é invertível e o sistema tem uma solução única. Vamos resolver o sistema usando operações elementares na matriz ampliada.